Basit işlev - Simple function

İçinde matematiksel alanı gerçek analiz, bir basit fonksiyon bir gerçek (veya karmaşık ) bir alt kümesi üzerinde değerli işlev gerçek çizgi, benzer basamak fonksiyonu. Basit işlevler, onları kullanmak matematiksel akıl yürütmeyi, teoriyi ve ispatı kolaylaştıracak kadar yeterince "güzel" dir. Örneğin, basit işlevler yalnızca sınırlı sayıda değere ulaşır. Bazı yazarlar ayrıca basit işlevlerin ölçülebilir; pratikte kullanıldığı gibi, değişmez bir şekilde öyleler.

Basit bir işlevin temel bir örneği, zemin işlevi yalnızca değerleri {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} olan yarı açık aralık [1, 9) üzerinden. Daha gelişmiş bir örnek, Dirichlet işlevi gerçek çizgi üzerinden, eğer 1 değerini alırsa x rasyoneldir ve aksi halde 0'dır. (Bu nedenle, "basit işlev" in "basit" i, ortak dil ile biraz çelişen teknik bir anlama sahiptir.) Hepsi adım fonksiyonları basittir.

Basit fonksiyonlar, teorilerin geliştirilmesinde ilk aşama olarak kullanılır. entegrasyon, benzeri Lebesgue integrali, çünkü basit bir fonksiyon için entegrasyonu tanımlamak kolaydır ve aynı zamanda daha genel fonksiyonları basit fonksiyon dizileri ile tahmin etmek kolaydır.

Tanım

Biçimsel olarak, basit bir işlev sonludur doğrusal kombinasyon nın-nin gösterge fonksiyonları nın-nin ölçülebilir setler. Daha doğrusu (X, Σ) bir ölçülebilir alan. İzin Vermek Bir₁, ..., Bir_n ∈ Σ bir sıra ayrık ölçülebilir kümelerin ve a₁, ..., a_n dizisi olmak gerçek veya Karışık sayılar. Bir basit fonksiyon bir işlev ${ displaystyle f: X - mathbb {C}}$ şeklinde

${ displaystyle f (x) = toplam _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} { mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x),}$

nerede ${ displaystyle { mathbf {1}} _ {A}}$ ... gösterge işlevi setin Bir.

Basit fonksiyonların özellikleri

İki basit fonksiyonun toplamı, farkı ve çarpımı yine basit fonksiyonlardır ve sabit ile çarpma basit bir fonksiyonu basit tutar; bu nedenle, belirli bir ölçülebilir alandaki tüm basit işlevlerin toplanmasının bir değişmeli cebir bitmiş ${ displaystyle mathbb {C}}$.

Basit fonksiyonların entegrasyonu

Eğer bir ölçü μ boşlukta tanımlanır (X, Σ), integral nın-nin f μ'ye göre

${ displaystyle toplamı _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} mu (A_ {k}),}$

tüm zirveler sonluysa.

Lebesgue entegrasyonu ile ilişki

Negatif olmayan herhangi ölçülebilir işlevi ${ displaystyle f iki nokta üst üste X - mathbb {R} ^ {+}}$ ... noktasal negatif olmayan basit fonksiyonların monoton artan dizisinin limiti. Doğrusu bırak ${ displaystyle f}$ ölçüm alanı üzerinde tanımlanan, negatif olmayan ölçülebilir bir fonksiyon olmak ${ displaystyle (X, Sigma, mu)}$ eskisi gibi. Her biri için ${ displaystyle n in mathbb {N}}$, aralığını alt bölümlere ayırın ${ displaystyle f}$ içine ${ displaystyle 2 ^ {2n} +1}$ aralıklar, ${ displaystyle 2 ^ {2n}}$ uzunluğu olan ${ displaystyle 2 ^ {- n}}$. Her biri için ${ displaystyle n}$, Ayarlamak

${ displaystyle I_ {n, k} = sol [{ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, { frac {k} {2 ^ {n}}} sağ)}$ için ${ displaystyle k = 1,2, ldots, 2 ^ {2n}}$, ve ${ displaystyle I_ {n, 2 ^ {2n} +1} = [2 ^ {n}, infty)}$.

(Unutmayın, sabit ${ displaystyle n}$, takımlar ${ displaystyle I_ {n, k}}$ ayrıktır ve negatif olmayan gerçek çizgiyi kapsar.)

Şimdi ölçülebilir kümeleri tanımlayın

${ displaystyle A_ {n, k} = f ^ {- 1} (I_ {n, k}) ,}$ için ${ displaystyle k = 1,2, ldots, 2 ^ {2n} +1}$.

Daha sonra artan basit işlev dizisi

${ displaystyle f_ {n} = toplam _ {k = 1} ^ {2 ^ {2n} +1} { frac {k-1} {2 ^ {n}}} { mathbf {1}} _ {A_ {n, k}}}$

noktasal olarak yakınsar ${ displaystyle f}$ gibi ${ displaystyle n ila infty}$. Unutmayın, ne zaman ${ displaystyle f}$ sınırlı, yakınsama tekdüze. Bu yaklaşım ${ displaystyle f}$ basit fonksiyonlarla (kolayca entegre edilebilir) bir integral tanımlamamıza izin verir ${ displaystyle f}$ kendisi; hakkındaki makaleye bakın Lebesgue entegrasyonu daha fazla ayrıntı için.

Referanslar

• J.F.C. Kingman, S. J. Taylor. Ölçme ve Olasılığa Giriş, 1966, Cambridge.
• S. Lang. Gerçek ve Fonksiyonel Analiz, 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin. Gerçek ve Karmaşık Analiz, 1987, McGraw-Hill.
• H. L. Royden. Gerçek Analiz, 1968, Collier Macmillan.