Uzay formu - Space form

İçinde matematik, bir uzay formu bir tamamlayınız Riemann manifoldu M nın-nin sabit kesit eğriliği K. Üç bariz örnek: Öklid n-Uzay, nboyutlu küre, ve hiperbolik boşluk bir uzay formunun olması gerekmese de basitçe bağlı.

Genelleştirilmiş kristalografiye indirgeme

Killing-Hopf teoremi Riemann geometrisinin evrensel kapak bir nboyutlu uzay formu ${ displaystyle M ^ {n}}$ eğrilikli ${ displaystyle K = -1}$ izometrik ${ displaystyle H ^ {n}}$, hiperbolik boşluk eğrilikli ${ displaystyle K = 0}$ izometrik ${ displaystyle R ^ {n}}$, Öklid n-Uzay ve eğrilikli ${ displaystyle K = + 1}$ izometrik ${ displaystyle S ^ {n}}$, n boyutlu küre başlangıç ​​noktasından uzaklığı 1 olan nokta sayısı ${ displaystyle R ^ {n + 1}}$.

Yeniden ölçeklendirerek Riemann metriği açık ${ displaystyle H ^ {n}}$bir alan yaratabiliriz ${ displaystyle M_ {K}}$ sabit eğriliğin ${ displaystyle K}$ herhangi ${ displaystyle K <0}$. Benzer şekilde, Riemann metriğini yeniden ölçeklendirerek ${ displaystyle S ^ {n}}$bir alan yaratabiliriz ${ displaystyle M_ {K}}$ sabit eğriliğin ${ displaystyle K}$ herhangi ${ displaystyle K> 0}$. Böylece bir uzay formunun evrensel örtüsü ${ displaystyle M}$ sabit eğrilikli ${ displaystyle K}$ izometrik ${ displaystyle M_ {K}}$.

Bu, uzay formlarını çalışmak sorununu ayrık grupları nın-nin izometriler ${ displaystyle Gama}$ nın-nin ${ displaystyle M_ {K}}$ hangi hareket uygun şekilde süreksiz olarak. Unutmayın ki temel grup nın-nin ${ displaystyle M}$, ${ displaystyle pi _ {1} (M)}$izomorfik olacak ${ displaystyle Gama}$. Bu şekilde hareket eden gruplar ${ displaystyle R ^ {n}}$ arandı kristalografik gruplar. Bu şekilde hareket eden gruplar ${ displaystyle H ^ {2}}$ ve ${ displaystyle H ^ {3}}$ arandı Fuşya grupları ve Kleincı gruplar, sırasıyla.

Uzay formu sorunu

uzay formu problemi herhangi ikisinin kompakt küresel olmayan Riemann manifoldları izomorf temel gruplar vardır homomorfik.

Olası uzantılar sınırlıdır. Manifoldların olduğu varsayılabilir. eş ölçülü ama yeniden ölçeklendirmek Riemann metriği kompakt asferik bir Riemann manifoldunda temel grubu korur ve bunun yanlış olduğunu gösterir. Ayrıca manifoldların olduğu varsayımı da istenebilir. diffeomorfik, fakat John Milnor 's egzotik küreler hepsi homeomorfiktir ve dolayısıyla bunun yanlış olduğunu gösteren izomorfik temel gruba sahiptir.

Ayrıca bakınız

• Borel varsayımı

Referanslar

• Goldberg, I. Samuel (1998), Eğrilik ve Homoloji, Dover Yayınları, ISBN  978-0-486-40207-9
• Lee, John M. (1997), Riemann manifoldları: eğriliğe giriş, Springer