Spektral konsantrasyon sorunu - Spectral concentration problem

T = 1000 ve 2WT = 6 için önde gelen üç Slepian dizisi. Her yüksek dereceden dizinin fazladan bir sıfır geçişine sahip olduğuna dikkat edin.

spektral konsantrasyon problemi içinde Fourier analizi belirli bir uzunluktaki bir zaman dizisini bulmayı ifade eder. ayrık Fourier dönüşümü belirli bir Sıklık aralık, spektral konsantrasyon ile ölçüldüğü şekliyle.

Spektral konsantrasyon

ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT) U(f) sonlu bir serinin ${displaystyle w_ {t}}$ , ${displaystyle t = 1,2,3,4, ..., T}$ olarak tanımlanır

{displaystyle U (f) = toplam _ {t = 1} ^ {T} w_ {t} e ^ {- 2pi ift}.}

Aşağıda, örnekleme aralığı Δ olarak alınacakt = 1 ve dolayısıyla frekans aralığı f ∈ [-½,½]. U(f) bir periyodik fonksiyon nokta 1.

Belirli bir frekans için W öyle ki 0 <W<½, spektral konsantrasyon ${displaystyle lambda (T, W)}$ nın-nin U(f) aralığında [-W,W] gücün oranı olarak tanımlanır U(f) içerdiği Frekans bandı [-W,W] gücüne U(f) tüm frekans bandında [-½, ½] bulunur. Yani,

{displaystyle lambda (T, W) = {frac {int _ {- W} ^ {W} {| U (f) |} ^ {2}, df} {int _ {- 1/2} ^ {1 / 2} {| U (diş) |} ^ {2}, df}}.}

Gösterilebilir ki U(f) sadece izole sıfırlara sahiptir ve bu nedenle ${displaystyle 0$ (bkz. [1]). Bu nedenle, spektral konsantrasyon kesinlikle birden azdır ve sonlu bir dizi yoktur. ${displaystyle w_ {t}}$ DTFT'nin bir bantla sınırlandırılabildiği [-W,W] ve bu grubun dışında kaybolmak için yapıldı.

Problem cümlesi

Hepsinin arasından diziler ${displaystyle lbrace w_ {t} küme ayracı}$ verilen için T ve W, spektral konsantrasyonun maksimum olduğu bir dizi var mı? Başka bir deyişle, yan kanat frekans bandı dışındaki enerji [-W,W] minimum mu?

Cevap Evet; böyle bir dizi gerçekten var ve optimize edilerek bulunabilir ${displaystyle lambda (T, W)}$ . Böylece gücü maksimize ediyor

{displaystyle int _ {- W} ^ {W} {| U (f) |} ^ {2}, df}

toplam gücün sabit olduğu kısıtlamasına tabi, diyelim ki

{displaystyle int _ {- 1/2} ^ {1/2} {| U (f) |} ^ {2}, df = 1,}

optimal sıra tarafından sağlanan aşağıdaki denkleme yol açar ${displaystyle w_ {t}}$ :

{görüntü stili toplamı _ {t ^ {'} = 1} ^ {T} {frac {sin 2pi W (tt ^ {'})} {pi (tt ^ {'})}} w_ {t ^ {'}} = lambda w_ {t}.}

Bu bir özdeğer için denklem simetrik matris veren

{displaystyle M_ {t, t ^ {'}} = {frac {sin 2pi W (t-t ^ {'})} {pi (t-t ^ {'})}}.}

Bu matrisin pozitif tanımlı bu nedenle bu matrisin tüm özdeğerleri 0 ile 1 arasındadır. Yukarıdaki denklemin en büyük öz değeri olası en büyük spektral konsantrasyona karşılık gelir; karşılık gelen özvektör, gerekli optimal dizidir ${displaystyle w_ {t}}$ . Bu diziye 0 denir^inci–Order Slepian dizisi (ayrık prolat sferoid dizi veya DPSS olarak da bilinir), maksimum olarak bastırılmış yan loblara sahip benzersiz bir incelme.

Matrisin baskın özdeğerlerinin sayısının M 1'e yakın olan, karşılık gelir N = 2WT Olarak adlandırılan Shannon numarası. Özdeğerler ${displaystyle lambda}$ azalan sırada düzenlenir (yani, ${displaystyle lambda _ {1}> lambda _ {2}> lambda _ {3}> ...> lambda _ {N}}$ ), sonra karşılık gelen özvektör ${displaystyle lambda _ {n + 1}}$ denir n^inci–Order Slepian dizisi (DPSS) (0≤n≤N-1). Bu n^inci–Order taper aynı zamanda en iyi yan lob bastırmayı sağlar ve çiftlidir dikey önceki siparişlerin Slepian dizilerine ${displaystyle (0,1,2,3 ...., n-1)}$ . Bu düşük dereceden Slepian dizileri, spektral tahmin tarafından çok görevli yöntem.

Zaman serileriyle sınırlı olmamak üzere, spektral konsantrasyon sorunu kullanılarak kürenin yüzeyine uygulanacak şekilde yeniden formüle edilebilir. küresel harmonikler, içindeki uygulamalar için jeofizik ve kozmoloji diğerleri arasında.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Partha Mitra ve Hemant Bokil. Gözlemlenen Beyin Dinamikleri, Oxford University Press, ABD (2007), Kitap bağlantısı
Donald. B. Percival ve Andrew. T. Walden. Fiziksel Uygulamalar için Spektral Analiz: Çok Katmanlı ve Geleneksel Tek Değişkenli Teknikler, Cambridge University Press, UK (2002).
Partha Mitra ve B. Pesaran, "Dinamik Beyin Görüntüleme Verilerinin Analizi." The Biophysical Journal, Cilt 76 (1999), 691-708, arxiv.org/abs/q-bio/0309028
F. J. Simons, M. A. Wieczorek ve F. A. Dahlen. Bir küre üzerinde uzay-uzamsal konsantrasyon. SIAM İncelemesi, 2006, doi:10.1137 / S0036144504445765