Steins lemma - Steins lemma

Stein lemma,^[1] onuruna adlandırılmış Charles Stein, bir teorem nın-nin olasılık teorisi bu, öncelikle istatiksel sonuç - özellikle James-Stein tahmini ve ampirik Bayes yöntemleri - ve uygulamaları portföy seçimi teorisi. Teorem için bir formül verir kovaryans birinin rastgele değişken iki rastgele değişken olduğunda, başka bir fonksiyonun değeri ile müşterek olarak normal dağıtılan.

Lemmanın ifadesi

Varsayalım X bir normal dağılım rastgele değişken ile beklenti μ ve varyans σ². Ayrıca varsayalım g iki beklentinin E (g(X) (X - μ)) ve E (g ′(X)) ikisi de var. (Herhangi bir rastgele değişkenin beklentisinin varlığı, onun beklentisinin sonluluğuna eşittir. mutlak değer.) Sonra

${ displaystyle E { bigl (} g (X) (X- mu) { bigr)} = sigma ^ {2} E { bigl (} g '(X) { bigr)}.}$

Genel olarak varsayalım X ve Y birlikte normal olarak dağıtılır. Sonra

${ displaystyle operatorname {Cov} (g (X), Y) = operatorname {Cov} (X, Y) E (g '(X)).}$

Kanıt

Tek değişkenli olasılık yoğunluk fonksiyonu 0 beklentisi ve 1 varyansı ile tek değişkenli normal dağılım için

${ displaystyle varphi (x) = {1 over { sqrt {2 pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 2}}$

ve μ beklentisi ve σ varyansı olan normal bir dağılım için yoğunluk² dır-dir

${ displaystyle {1 sigma üzerinde} varphi sol ({x- mu sigma} üzerinde sağ).}$

Sonra kullan Parçalara göre entegrasyon.

Daha genel ifade

Varsayalım X içinde üstel aile, yani, X yoğunluğa sahip

${ displaystyle f _ { eta} (x) = exp ( eta 'T (x) - Psi ( eta)) h (x).}$

Bu yoğunluğun desteği olduğunu varsayalım ${ displaystyle (a, b)}$ nerede ${ displaystyle a, b}$ olabilirdi ${ displaystyle - infty, infty}$ ve benzeri ${ displaystyle x rightarrow a { text {veya}} b}$, ${ displaystyle exp ( eta 'T (x)) h (x) g (x) sağ 0}$ nerede ${ displaystyle g}$ herhangi bir türevlenebilir işlevdir, öyle ki ${ displaystyle E | g '(X) | < infty}$ veya ${ displaystyle exp ( eta 'T (x)) h (x) sağ 0}$ Eğer ${ displaystyle a, b}$ sonlu. Sonra

${ displaystyle E ((h '(X) / h (X) + toplam eta _ {i} T_ {i}' (X)) g (X)) = - Örneğin '(X).}$

Türetme, özel durumla aynıdır, yani parçalara göre entegrasyon.

Eğer sadece bilirsek ${ displaystyle X}$ desteği var ${ displaystyle mathbb {R}}$, o zaman durum şu olabilir ${ displaystyle E | g (X) | < infty { text {ve}} E | g '(X) | < infty}$ fakat ${ displaystyle lim _ {x rightarrow infty} f _ { eta} (x) g (x) not = 0}$. Bunu görmek için basitçe ${ displaystyle g (x) = 1}$ ve ${ displaystyle f _ { eta} (x)}$ sonsuza doğru sonsuz sivri uçlu ama yine de bütünleştirilebilir. Böyle bir örnek, ${ displaystyle f (x) = { {vakalar} 1 ve x içinde [n, n + 2 ^ {- n}) 0 & { text {aksi halde}} end {vakalar}}}$ Böylece ${ displaystyle f}$ pürüzsüz.

Eliptik konturlu dağılımların uzantıları da mevcuttur.^[2][3]

Ayrıca bakınız

• Stein'in yöntemi
• Rastgele değişkenlerin fonksiyonlarının momentleri için Taylor açılımları

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Stein lemma"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Ocak 2011) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Referanslar