Szász – Mirakyan operatörü - Szász–Mirakyan operator

İçinde fonksiyonel Analiz içinde bir disiplin matematik, Szász – Mirakyan operatörleri ("Mirakjan" ve "Mirakian" olarak da yazılır) genellemelerdir Bernstein polinomları sonsuz aralıklarla, Otto Szász 1950'de ve G. M. Mirakjan 1941'de.

${ displaystyle sol [{ mathcal {S}} _ {n} (f) sağ] (x)}$=${ displaystyle e ^ {- nx} toplam _ {k = 0} ^ { infty} {{ frac {(nx) ^ {k}} {k!}} f sol ({ frac {k} {n}} sağ)}}$

nerede ${ displaystyle x in [0, infty) altküme mathbb {R}}$ ve ${ displaystyle n in mathbb {N}}$.^[1][2]

Temel sonuçlar

1964'te Cheney ve Sharma, eğer ${ displaystyle f}$ dışbükeydir ve doğrusal değildir, dizi ${ displaystyle ({ mathcal {S}} _ {n} (f)) _ {n in mathbb {N}}}$ ile azalır ${ displaystyle n}$ (${ displaystyle { mathcal {S}} _ {n} (f) geq f}$).^[3] Ayrıca şunu da gösterdiler: ${ displaystyle f}$ bir derece polinomudur ${ displaystyle leq m}$Öyleyse öyle ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {n} (f)}$ hepsi için ${ displaystyle n}$.

İlk mülkle ilgili bir sohbet Horová tarafından 1968'de gösterildi (Altomare & Campiti 1994: 350).

Yakınsama teoremi

Szász'ın orijinal makalesinde şunları kanıtladı:

Eğer ${ displaystyle f}$ dır-dir sürekli açık ${ displaystyle (0, infty)}$, sonsuzda sınırlı bir limite sahip olmak, o zaman ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {n} (f)}$ düzgün bir şekilde birleşir -e ${ displaystyle f}$ gibi ${ displaystyle n rightarrow infty}$.^[1]

Bu şuna benzer Bernstein polinomlarının [0,1] üzerinde sürekli fonksiyonlara yaklaştığını belirten bir teorem.

Genellemeler

Bir Kantorovich -tip genelleme bazen literatürde tartışılmaktadır. Bu genellemelere aynı zamanda Szász – Mirakjan – Kantorovich operatörleri.

1976'da, C. P. May gösterdi ki Baskakov operatörleri Szász – Mirakyan operatörlerine indirgenebilir.^[4]

Referanslar

• Altomare, Francesco; Michele Campiti (1994). Korovkin-Tipi Yaklaşım Teorisi ve Uygulamaları. Walter de Gruyter. ISBN  3-11-014178-7.
• Favard, Jean (1944). "Sur les multiplicateurs d'interpolation". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (Fransızcada). 23 (9): 219–247. (Ayrıca bakınız: Favard operatörleri )
• Horová, Ivana (1968). "Dışbükey fonksiyonların doğrusal pozitif operatörleri". Mathematica (Cluj). 10 (33): 275–283. Zbl  0186.11101.
• Kac, Mark (1938). "Une remarque sur les polynomes de M. S. Bernstein" (PDF). Studia Mathematica (Fransızcada). 7: 49–51. Zbl  0018.20704.
• Kaç, M. (1939). "Reconnaissance de priorité rölatif à ma notu 'M. S.'" (PDF). Studia Mathematica (Fransızcada). 8: 170. JFM  65.0248.03.
• Mirakjan, G.M. (1941). "Yaklaşım des fonctions au moyen de polynômes de la forme devam ediyor ${ displaystyle e ^ {- nx} toplam _ {k = 0} ^ {m_ {n}} {C_ {k, n} x ^ {k}}}$"[Formdaki polinomların yardımıyla sürekli fonksiyonların yaklaştırılması ${ displaystyle e ^ {- nx} toplam _ {k = 0} ^ {m_ {n}} {C_ {k, n} x ^ {k}}}$]. Comptes rendus de l'Académie des sciences de l'URSS (Fransızcada). 31: 201–205. JFM  67.0216.03.
• Wood, B. (Temmuz 1969). "Karmaşık etki alanında yaklaşım için genelleştirilmiş Szasz operatörleri". SIAM Uygulamalı Matematik Dergisi. 17 (4): 790–801. doi:10.1137/0117071. JSTOR  2099320. Zbl  0182.08801.

Dipnotlar