Tannaka-Kerin ikiliği - Tannaka–Krein duality

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Tannaka-Kerin ikiliği"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Ekim 2017) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde matematik, Tannaka-Kerin ikiliği teori, bir kompakt topolojik grup ve Onun kategori nın-nin doğrusal temsiller. Doğal bir uzantısıdır Pontryagin ikiliği, kompakt ve ayrık arasında değişmeli topolojik gruplar, kompakt ancak değişmez. Teori, iki adam, Sovyet matematikçi için adlandırılmıştır. Mark Grigorievich Kerin ve Japonlar Tadao Tannaka. Tarafından dikkate alınan değişmeli grupların durumunun aksine Lev Pontryagin, değişmeyen bir kompakt grup bir grup değil, bir temsiller kategorisi Π (G) sonlu boyutlu temsillerinden oluşan bazı ek yapı ile G.

Tannaka ve Kerin'in dualite teoremleri, Π kategorisindeki karşılıklı geçişi tanımlar (G) gruba geri dön G, grubun temsiller kategorisinden çıkarılmasına izin verir. Dahası, aslında bu şekilde bir gruptan ortaya çıkabilecek tüm kategorileri tamamen karakterize ederler. Alexander Grothendieck daha sonra benzer bir süreçle Tannaka dualitesinin şu duruma genişletilebileceğini gösterdi. cebirsel gruplar: görmek Tannakian kategorisi. Bu arada, Tannaka ve Kerin'in orijinal teorisi geliştirilmeye ve iyileştirilmeye devam etti. matematiksel fizikçiler. Tannaka-Kerin teorisinin bir genellemesi, temsillerini incelemek için doğal bir çerçeve sağlar. kuantum grupları ve şu anda kuantuma genişletiliyor süper gruplar, kuantum grupoidler ve onların ikili Hopf algebroidleri.

Tannaka-Kerin ikiliği fikri: bir grubun temsillerinin kategorisi

Pontryagin dualite teorisinde yerel olarak kompakt değişmeli gruplar, ikili nesne bir gruba G onun karakter grubu ${ displaystyle { hat {G}},}$ tek boyutlu olan üniter temsiller. Gruba izin verirsek G değişmez olmak gerekirse, karakter grubunun en doğrudan analogu, Ayarlamak nın-nin denklik sınıfları nın-nin indirgenemez üniter temsiller nın-nin G. Karakterlerin çarpımının analogu, temsillerin tensör çarpımı. Ancak, indirgenemez temsilleri G indirgenemez temsillerin tensör çarpımı zorunlu olarak indirgenemez olmadığı için genel olarak bir grup, hatta bir monoid oluşturamaz. Birinin seti dikkate alması gerektiği ortaya çıktı Π (G) tüm sonlu boyutlu temsillerin ve bunu bir tek biçimli kategori, burada ürün, temsillerin olağan tensör ürünüdür ve ikili nesne, aykırı temsil.

Bir temsil kategorinin Π (G) bir monoidaldir doğal dönüşüm kimlikten functor ${ displaystyle kimliği _ { Pi (G)} !}$ kendisine. Diğer bir deyişle, sıfır olmayan bir fonksiyondur φ herhangi bir ${ Displaystyle T Ob , Pi (G)}$ uzayının endomorfizmi T ve tensör ürünlerle uyumluluk koşullarını sağlar, ${ Displaystyle phi (T otimes U) = phi (T) otimes phi (U)}$ve keyfi olarak iç içe geçmiş operatörler f: T → U, yani, ${ displaystyle f circ phi (T) = phi (U) circ f}$. Γ (Π (G)) kategorisinin tüm temsillerinin Π (G) çarpma ile donatılabilir φψ (T) = φ (T) ψ (T) ve topoloji yakınsamanın tanımlandığı noktasal yani bir dizi ${ displaystyle { phi _ {a} }}$ bazılarına yakınlaşır ${ displaystyle phi}$ ancak ve ancak ${ displaystyle { phi _ {a} (T) }}$ yakınsamak ${ displaystyle phi (T)}$ hepsi için ${ Displaystyle T Ob , Pi (G)}$. Kümenin Γ (Π (G)) böylece kompakt (topolojik) bir grup haline gelir.

Tannaka ve Kerin Teoremleri

Tannaka teoremi yeniden yapılandırmak için bir yol sağlar kompakt grup G temsiller kategorisinden Π (G).

İzin Vermek G kompakt bir grup ol ve F: Π (G) → Vect_C ol unutkan görevli sonlu boyutludan karmaşık temsilleri G karmaşık sonlu boyutlu vektör uzayları. Biri bir topoloji koyar doğal dönüşümler τ: F → F bunu ayarlayarak en kaba topoloji mümkündür öyle ki projeksiyonların her biri End (F) → Sonlandır (V) tarafından verilen ${ displaystyle tau mapsto tau _ {V}}$ (doğal bir dönüşüm alıyor ${ displaystyle tau}$ bileşenine ${ displaystyle tau _ {V}}$ -de $Pi (G) içinde { displaystyle V$) bir sürekli işlev. Doğal bir dönüşüm olduğunu söylüyoruz tensör koruyucu eğer önemsiz temsili üzerindeki kimlik haritası ise Gve tensör ürünlerini koruyorsa ${ displaystyle tau _ {V otimes W} = tau _ {V} otimes tau _ {W}}$. Bunu da söylüyoruz τ dır-dir kendi kendine eşlenik Eğer ${ displaystyle { overline { tau}} = tau}$ çubuk karmaşık konjugasyonu gösterir. Sonra set ${ displaystyle { mathcal {T}} (G)}$ tüm tensör koruyan, kendi kendine eşlenik doğal dönüşümler F kapalı bir End alt kümesidir (F), bu aslında bir (kompakt) gruptur. G (kompakt) bir gruptur. Her öğe x nın-nin G ile çarpma yoluyla tensörü koruyan kendi kendine eşlenik doğal dönüşüme yol açar x her gösterimde ve dolayısıyla birinin bir haritası var ${ displaystyle G - { mathcal {T}} (G)}$. Tannaka'nın teoremi daha sonra bu haritanın bir izomorfizm olduğunu söylüyor.

Krein teoremi şu soruyu yanıtlar: kompakt bir grup için ikili nesne olarak hangi kategoriler ortaya çıkabilir?

Tensör çarpımı ve evrişim işlemleriyle donatılmış sonlu boyutlu vektör uzaylarının bir kategorisi Π olsun. Π'nin kompakt bir gruba ikili bir nesne olması için aşağıdaki koşullar gerekli ve yeterlidir G.

1. Bir nesne var ${ displaystyle I}$ özelliği ile ${ displaystyle I otimes A yaklaşık A}$ tüm nesneler için Bir Π (izomorfizme kadar mutlaka benzersiz olacaktır).

2. Her nesne Bir Π, minimum nesnelerin toplamına ayrıştırılabilir.

3. Eğer Bir ve B iki minimal nesneden sonra homomorfizmlerin uzayıdır Homomorfizmler_Π(Bir, B) ya tek boyutludur (izomorfik olduklarında) ya da sıfıra eşittir.

Tüm bu koşullar karşılanırsa, kategori category = Π (G), nerede G Π temsillerinin grubudur.

Genelleme

Tannaka-Kerin ikiliği teorisine ilgi, 1980'lerde kuantum grupları işinde Drinfeld ve Jimbo. Bir kuantum grubunun çalışmasına yönelik ana yaklaşımlardan biri, sonlu boyutlu temsilleri yoluyla ilerler ve bu, benzer bir kategori oluşturur. simetrik tek biçimli kategoriler Π (G), ancak daha genel tipte, örgülü tek biçimli kategori. Tannaka-Kerin tipi iyi bir dualite teorisinin bu durumda da var olduğu ve hem kuantum gruplarının hem de temsillerinin incelenebileceği doğal bir ortam sağlayarak kuantum grupları teorisinde önemli bir rol oynadığı ortaya çıktı. Kısa bir süre sonra, örgülü monoidal kategorilerin farklı örnekleri bulundu. rasyonel konformal alan teorisi. Tannaka-Kerin felsefesi, konformal alan teorisinden ortaya çıkan örgülü monoidal kategorilerin kuantum gruplarından da elde edilebileceğini öne sürüyor ve bir dizi makalede Kazhdan ve Lusztig bunun gerçekten de böyle olduğunu kanıtladı. Öte yandan, belirli kuantum gruplarından ortaya çıkan örgülü monoidal kategoriler, Reshetikhin ve Turaev tarafından yeni düğüm değişmezlerinin inşasına uygulandı.

Doplicher-Roberts teoremi

Doplicher-Roberts teoremi (Nedeniyle Sergio Doplicher ve John E. Roberts ), Rep (G) açısından kategori teorisi bir tür olarak alt kategori kategorisinin Hilbert uzayları.^[1] Hilbert uzayları üzerindeki kompakt grup üniter temsillerinin bu tür alt kategorileri şunlardır:

1. sıkı bir simetrik monoidal C * kategorisi konjugatlarla
2. sahip bir alt kategori alt nesneler ve doğrudan toplamlar, öyle ki C * -algebra endomorfizmlerinin tek biçimli birim yalnızca skalar içerir.

Ayrıca bakınız

• Gelfand-Naimark teoremi

Notlar

Dış bağlantılar

• Quantum Principal Bundles ve Tannaka – Kerin Duality, Mico Durdevic (bozuk bağlantı: bkz. bu sayfa üzerinde ArXiv bunun yerine veya [https://archive.org/details/arxiv-q-alg9507018 bu sayfada Wayback Makinesi )
• Alfons Van Daele'nin değişmez integralli kuantum grupları (Tannaka-Kerin'i içerir)
• André Joyal ve Ross Caddesi, Tannaka dualitesi ve kuantum gruplarına giriş Bölüm II'de Kategori Teorisi, Bildiriler, Como 1990, eds. A. Carboni, M.C. Pedicchio ve G. Rosolini, Matematikte Ders Notları 1488, Springer, Berlin, 1991, 411–492.