Thompson grupları - Thompson groups

İçinde matematik, Thompson grupları (olarak da adlandırılır Thompson grupları, serseri grupları veya bukalemun grupları) üç grupları, genellikle belirtilen ${ displaystyle F subseteq T subseteq V}$ Richard Thompson tarafından 1965'te bazı yayınlanmamış el yazısıyla yazılmış notlarda olası bir karşı örnek olarak sunulan von Neumann varsayımı. Üçünden F en çok çalışılan ve bazen şu şekilde anılır: Thompson grubu veya Thompson grubu.

Thompson grupları ve F özellikle, onları grup teorisindeki birçok genel varsayıma karşı örnek yapan bir dizi alışılmadık özellikler var. Üç Thompson grubu da sonsuzdur ancak sonlu sunulmuş. Gruplar T ve V (nadir) sonsuz ama sonlu sunulmuş örneklerdir basit gruplar. Grup F basit değil, türetilmiş alt grubu [F,F] ve bölümü F türetilmiş alt grubuna göre, rank 2'nin serbest değişmeli grubudur. F dır-dir tamamen sipariş, vardır üstel büyüme ve içermez alt grup izomorfik ücretsiz grup 2. sıra.

Varsayılmaktadır F değil uygun ve bu nedenle uzun süredir devam eden ancak yakın zamanda reddedilenlere karşı bir örnekvon Neumann varsayımı sonlu olarak sunulan gruplar için: F değil temel uygun.

Higman (1974) Thompson'ın grubu da dahil olmak üzere, sonlu olarak sunulan basit gruplardan oluşan sonsuz bir aile tanıttı V özel bir durum olarak.

Sunumlar

Sonlu bir sunumu F aşağıdaki ifade ile verilir:

{ displaystyle langle A, B mid [AB ^ {- 1}, A ^ {- 1} BA] = [AB ^ {- 1}, A ^ {- 2} BA ^ {2}] = mathrm {id} rangle}

nerede [x,y] olağan grup teorisidir komütatör, xyx⁻¹y⁻¹.

olmasına rağmen F 2 üreteçli ve 2 ilişkili sonlu bir sunuma sahiptir, en kolay ve sezgisel olarak sonsuz sunumla tanımlanır:

{ displaystyle langle x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, noktalar orta x_ {k} ^ {- 1} x_ {n} x_ {k} = x_ {n + 1} mathrm {for} k

İki sunum birbiriyle ilgilidir x₀=Bir, x_n = Bir¹⁻ⁿBAⁿ⁻¹ için n>0.

Diğer temsiller

Thompson grubu F ikili ağaçlarda bunun gibi işlemlerle üretilir. Buraya L ve T düğümlerdir, ancak Bir B ve R daha genel ağaçlarla değiştirilebilir.

Grup F sıralı köklü operasyonlar açısından da gerçekleştirmeleri vardır. ikili ağaçlar ve parçalı doğrusalın bir alt grubu olarak homeomorfizmler of birim aralığı yönelimi koruyan ve ayırt edilemeyen noktaları çift rasyonel olan ve eğimleri 2'nin katları olan.

Grup F ayrıca birim aralığın iki uç noktasını ve grubu tanımlayarak birim çember üzerinde hareket ettiği düşünülebilir. T daha sonra homeomorfizmi ekleyerek elde edilen birim çemberin otomorfizm grubudur. x→x+1/2 mod 1'den F. İkili ağaçlarda bu, kök altındaki iki ağacın değiş tokuşuna karşılık gelir. Grup V -dan elde edilir T yarı açık aralığın [0,1 / 2) noktalarını ve [1 / 2,3 / 4) ve [3 / 4,1) değişimlerini bariz bir şekilde sabitleyen süreksiz haritayı ekleyerek. İkili ağaçlarda bu, kökün sağ alt neslinin altındaki iki ağacın değiş tokuşuna karşılık gelir (eğer varsa).

Thompson grubu F özgürlerin düzen koruyan otomorfizmleri grubudur. Jónsson-Tarski cebiri bir jeneratörde.

Uygunluk

Thompson'ın varsayımı F değil uygun R. Geoghegan tarafından daha da popüler hale getirilmiştir --- ayrıca aşağıdaki referanslarda belirtilen Cannon-Floyd-Parry makalesine de bakınız. Şu anki durumu açık: E. Shavgulidze^[1] 2009'da bunu kanıtladığını iddia ettiği bir makale yayınladı F makul, ancak MR incelemesinde açıklandığı gibi bir hata bulundu.

Biliniyor ki F değil temel uygun Cannon-Floyd-Parry'de Teorem 4.10'a bakınız. Eğer F dır-dir değil makul, o zaman uzun süredir devam eden ancak yakın zamanda reddedilenlere başka bir karşı örnek olurdu von Neumann varsayımı Sonlu olarak sunulan bir grubun, ancak ve ancak 2.Kademe serbest grubunun bir kopyasını içermemesi durumunda uygun olacağını öne süren sonlu sunulmuş gruplar için.

Topoloji ile bağlantılar

Grup F 1970'lerde topologlar tarafından en az iki kez yeniden keşfedildi. Daha sonra yayınlanan ancak o sırada ön baskı olarak dolaşımda olan bir makalede, P. Freyd ve A. Heller ^[2] gösterdi ki vardiya haritası açık F Eilenberg-MacLane uzayında bölünemez bir homotopi idempotentini indükler K (F; 1) ve bunun ilginç bir anlamda evrensel olduğunu. Bu, Geoghegan'ın kitabında ayrıntılı olarak açıklanmıştır (aşağıdaki referanslara bakınız). Bağımsız olarak J. Dydak ve P. Minc ^[3] daha az bilinen bir model yarattı F şekil teorisindeki bir problemle bağlantılı olarak.

1979'da R. Geoghegan hakkında dört varsayım yaptı. F: (1) F türü var FP_∞; (2) Tüm homotopi grupları F sonsuzda önemsizdir; (3) F değişmeli olmayan serbest alt grupları yoktur; (4) F uygun değildir. (1) K. S. Brown ve R. Geoghegan tarafından güçlü bir biçimde kanıtlanmıştır: her pozitif boyutta iki hücreli bir K (F, 1) vardır.^[4] (2) Brown ve Geoghegan tarafından da kanıtlandı ^[5] kohomolojinin H * (F, ZF) önemsiz olduğunun gösterilmesi anlamında; M. Mihalik'in önceki bir teoreminden beri ^[6] ima ediyor ki F basitçe sonsuzda bağlantılıdır ve belirtilen sonuç sonsuzdaki tüm homolojinin ortadan kalktığını ima eder, homotopi grupları hakkındaki iddiayı takip eder. (3) M. Brin ve C. Squier tarafından kanıtlanmıştır.^[7] (4) ün durumu yukarıda tartışılmıştır.

Bilinmiyorsa F tatmin eder Farrell-Jones varsayımı. Whitehead grubunun F (görmek Whitehead burulma ) veya projektif sınıf grubu F (görmek Duvarın sonluluğunun engellenmesi ) önemsizdir, ancak kolayca F Güçlü Bas Varsayımını karşılar.

D. Farley ^[8] gösterdi ki F yerel olarak sonlu bir CAT (0) kübik kompleksinde (zorunlu olarak sonsuz boyutta) güverte dönüşümleri olarak hareket eder. Sonuç şu ki F tatmin eder Baum-Connes varsayımı.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Shavgulidze, E. (2009), "Thompson grubu F uygundur", Sonsuz Boyut Analizi, Kuantum Olasılığı ve İlgili Konular, 12 (2): 173–191, doi:10.1142 / s0219025709003719, BAY 2541392
^ Freyd, Peter; Heller, Alex (1993), "Homotopi idempotentleri bölme", Journal of Pure and Applied Cebir, 89 (1–2): 93–106, doi:10.1016 / 0022-4049 (93) 90088-b, BAY 1239554
^ Dydak, Jerzy; Minc, Piotr (1977), "FANR alanlarını işaret eden basit bir kanıt, ANR'lerin düzenli temel geri çekilmeleridir", Bulletin de l'Académie Polonaise des Science, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques and Physiques, 25: 55–62, BAY 0442918
^ Brown, K.S .; Geoghegan Ross (1984), Sonsuz boyutlu, torsiyonsuz bir FP_infinity grubu, 77, sayfa 367–381, Bibcode:1984InMat..77..367B, doi:10.1007 / bf01388451, BAY 0752825
^ Brown, K.S .; Geoghegan, Ross (1985), "Grup grafiğinin temel grubunun serbest katsayılarıyla kohomoloji", Commentarii Mathematici Helvetici, 60: 31–45, doi:10.1007 / bf02567398, BAY 0787660
^ Mihalik, M. (1985), "Tamsayılar bölüm olarak olan grupların sonları", Journal of Pure and Applied Cebir, 35: 305–320, doi:10.1016/0022-4049(85)90048-9, BAY 0777262
^ Brin, Matthew .; Squier, Craig (1985), "Gerçek çizginin parçalı doğrusal homeomorfizm grupları", Buluşlar Mathematicae, 79 (3): 485–498, Bibcode:1985InMat..79..485B, doi:10.1007 / bf01388519, BAY 0782231
^ Farley, D. (2003), "Diyagram gruplarının sonluluk ve CAT (0) özellikleri", Topoloji, 42 (5): 1065–1082, doi:10.1016 / s0040-9383 (02) 00029-0, BAY 1978047

Cannon, J. W.; Floyd, W. J.; Parry, W.R. (1996), "Richard Thompson'ın grupları hakkında giriş notları" (PDF), L'Enseignement MathématiqueIIe Série, 42 (3): 215–256, ISSN 0013-8584, BAY 1426438
Cannon, J.W .; Floyd, W.J. (Eylül 2011). "NEDİR ... Thompson Grubu?" (PDF). American Mathematical Society'nin Bildirimleri. 58 (8): 1112–1113. ISSN 0002-9920. Alındı 27 Aralık 2011.
Geoghegan Ross (2008), Grup Teorisinde Topolojik Yöntemler, Matematikte Lisansüstü Metinler, 243, Springer Verlag, arXiv:matematik / 0601683, doi:10.1142 / S0129167X07004072, ISBN 978-0-387-74611-1, BAY 2325352
Higman, Graham (1974), Sonlu sunulan sonsuz basit gruplar, Saf Matematik Üzerine Notlar, 8, Saf Matematik Bölümü, Matematik Bölümü, I.A.S. Avustralya Ulusal Üniversitesi, Canberra, ISBN 978-0-7081-0300-5, BAY 0376874

[1] Shavgulidze, E. (2009), "Thompson grubu F uygundur", Sonsuz Boyut Analizi, Kuantum Olasılığı ve İlgili Konular, 12 (2): 173–191, doi:10.1142 / s0219025709003719, BAY 2541392

[2] Freyd, Peter; Heller, Alex (1993), "Homotopi idempotentleri bölme", Journal of Pure and Applied Cebir, 89 (1–2): 93–106, doi:10.1016 / 0022-4049 (93) 90088-b, BAY 1239554

[3] Dydak, Jerzy; Minc, Piotr (1977), "FANR alanlarını işaret eden basit bir kanıt, ANR'lerin düzenli temel geri çekilmeleridir", Bulletin de l'Académie Polonaise des Science, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques and Physiques, 25: 55–62, BAY 0442918

[4] Brown, K.S .; Geoghegan Ross (1984), Sonsuz boyutlu, torsiyonsuz bir FP_infinity grubu, 77, sayfa 367–381, Bibcode:1984InMat..77..367B, doi:10.1007 / bf01388451, BAY 0752825

[5] Brown, K.S .; Geoghegan, Ross (1985), "Grup grafiğinin temel grubunun serbest katsayılarıyla kohomoloji", Commentarii Mathematici Helvetici, 60: 31–45, doi:10.1007 / bf02567398, BAY 0787660

[6] Mihalik, M. (1985), "Tamsayılar bölüm olarak olan grupların sonları", Journal of Pure and Applied Cebir, 35: 305–320, doi:10.1016/0022-4049(85)90048-9, BAY 0777262

[7] Brin, Matthew .; Squier, Craig (1985), "Gerçek çizginin parçalı doğrusal homeomorfizm grupları", Buluşlar Mathematicae, 79 (3): 485–498, Bibcode:1985InMat..79..485B, doi:10.1007 / bf01388519, BAY 0782231

[8] Farley, D. (2003), "Diyagram gruplarının sonluluk ve CAT (0) özellikleri", Topoloji, 42 (5): 1065–1082, doi:10.1016 / s0040-9383 (02) 00029-0, BAY 1978047

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]