Bükülmüş polinom halka - Twisted polynomial ring

Bu makale çoğu okuyucunun anlayamayacağı kadar teknik olabilir. Lütfen geliştirmeye yardım et -e uzman olmayanlar için anlaşılır hale getirinteknik detayları kaldırmadan. (Nisan 2014) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde matematik, bir bükülmüş polinom bir polinom üzerinde alan nın-nin karakteristik ${ displaystyle p}$ değişkende ${ displaystyle tau}$ temsil eden Frobenius haritası ${ displaystyle x mapsto x ^ {p}}$. Normal polinomların aksine, bu polinomların çarpımı değişmeli, ancak değiştirme kuralını karşılar

${ displaystyle tau x = x ^ {p} tau}$

hepsi için ${ displaystyle x}$ temel alanda.

Sonsuz bir alan üzerinde, bükülmüş polinom halka, halkasına izomorfiktir. toplamsal polinomlar, ancak ikincisi üzerindeki çarpmanın olağan çarpma yerine bileşim ile verildiği yerde. Bununla birlikte, bükülmüş polinom halkasında hesaplamak genellikle daha kolaydır - bu, özellikle teorisinde uygulanabilir. Drinfeld modülleri.

Tanım

İzin Vermek ${ displaystyle k}$ karakteristik bir alan olmak ${ displaystyle p}$. Bükülmüş polinom halka ${ displaystyle k { tau }}$ değişkendeki polinomlar kümesi olarak tanımlanır ${ displaystyle tau}$ ve katsayıları ${ displaystyle k}$. Bir yüzük olağan toplama ile, ancak ilişki ile özetlenebilecek değişmeli olmayan bir çarpma ile yapı ${ displaystyle tau x = x ^ {p} tau}$ için ${ displaystyle x k olarak}$. Bu ilişkinin tekrar tekrar uygulanması, herhangi iki bükülmüş polinomun çarpımı için bir formül verir.

Örnek olarak böyle bir çarpma yapıyoruz

${ displaystyle (a + b tau) (c + d tau) = a (c + d tau) + b tau (c + d tau) = ac + ad tau + bc ^ {p} tau + bd ^ {p} tau ^ {2}}$

Özellikleri

Morfizm

${ displaystyle k { tau } to k [x], quad a_ {0} + a_ {1} tau + cdots + a_ {n} tau ^ {n} mapsto a_ {0} x + a_ {1} x ^ {p} + cdots + a_ {n} x ^ {p ^ {n}}}$

tanımlar halka homomorfizmi ek bir polinom için bükülmüş bir polinom gönderme. Burada, sağ taraftaki çarpma, polinomların bileşimi ile verilmektedir. Örneğin

${ displaystyle (ax + bx ^ {p}) circ (cx + dx ^ {p}) = a (cx + dx ^ {p}) + b (cx + dx ^ {p}) ^ {p} = acx + adx ^ {p} + bc ^ {p} x ^ {p} + bd ^ {p} x ^ {p ^ {2}},}$

gerçeğini kullanarak ${ displaystyle p}$ bizde Birinci sınıf rüyası ${ displaystyle (x + y) ^ {p} = x ^ {p} + y ^ {p}}$.

Homomorfizm açıkça enjekte edicidir, ancak ancak ve ancak ${ displaystyle k}$ sonsuzdur. Süreklilik başarısızlığı ne zaman ${ displaystyle k}$ sonlu, sıfır fonksiyonunu başlatan sıfır olmayan polinomların varlığından kaynaklanmaktadır. ${ displaystyle k}$ (Örneğin. ${ displaystyle x ^ {q} -x}$ ile sonlu alan üzerinde ${ displaystyle q}$ elementler).^{[kaynak belirtilmeli ]}

Bu yüzük değişmeli olmasa da, hala sahip (sol ve sağ) bölme algoritmaları.

Referanslar

• Goss, D. (1996), Fonksiyon alanı aritmetiğinin temel yapıları, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Matematik ve İlgili Alanlardaki Sonuçlar (3)], 35, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-61087-8, BAY  1423131, Zbl  0874.11004
• Rosen, Michael (2002), Fonksiyon Alanlarında Sayı Teorisi, Matematikte Lisansüstü Metinler, 210, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95335-3, ISSN  0072-5285, Zbl  1043.11079