Busemann işlevi - Busemann function

Bu makalenin birden çok sorunu var. Lütfen yardım et onu geliştir veya bu konuları konuşma sayfası. (Bu şablon mesajların nasıl ve ne zaman kaldırılacağını öğrenin) Bu makale çoğu okuyucunun anlayamayacağı kadar teknik olabilir. Lütfen geliştirmeye yardım et -e uzman olmayanlar için anlaşılır hale getirinteknik detayları kaldırmadan. (Haziran 2020) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Busemann işlevi"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Haziran 2020) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) Bu makale şunları içerir: satır içi alıntılar, fakat onlar değil düzgün biçimlendirilmiş. Lütfen geliştirmek bu makale onları düzeltmek. (Haziran 2020) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

İçinde geometrik topoloji, Busemann fonksiyonları jeodeziklerin büyük ölçekli geometrisini incelemek için kullanılır Hadamard uzayları ve özellikle Hadamard manifoldları (basitçe bağlı tamamlayınız Riemann manifoldları Pozitif olmayan eğrilik). Adını alırlar Herbert Busemann onları kim tanıttı; 1955 tarihli "Jeodeziklerin geometrisi" adlı kitabında bu konuyu kapsamlı bir şekilde ele aldı.

Tanım ve temel özellikler

İzin Vermek ${ displaystyle (X, d)}$ olmak metrik uzay. Bir jeodezik ışın bir yol ${ displaystyle gamma: [0, infty) ila X}$ uzunluğu boyunca her yerde mesafeyi en aza indirir. yani herkes için ${ displaystyle t, t ' in [0, infty)}$,

${ displaystyle d { büyük (} gama (t), gamma (t ') { büyük)} = { büyük |} t-t' { büyük |}}$.

Eşdeğer olarak, ışın, "kanonik ışın" dan bir izometridir (set ${ displaystyle [0, infty)}$ Öklid metriği ile donatılmış) metrik uzaya X.

Bir ışın verildiğinde γBusemann işlevi ${ displaystyle B _ { gamma}: X - mathbb {R}}$ tarafından tanımlanır

${ displaystyle B _ { gamma} (x) = lim _ {t ila infty} { büyük (} d { büyük (} gamma (t), x { büyük)} - t { büyük )}}$

Böylece ne zaman t çok büyük mesafe ${ displaystyle d { büyük (} gama (t), x { büyük)}}$ yaklaşık olarak eşittir ${ displaystyle t-B _ { gama} (x)}$. Bir ışın verildiğinde γBusemann işlevi her zaman iyi tanımlanmıştır: gerçekten sağ taraf F_t(x) yukarıdaki kompakta üzerinde noktasal olarak sol tarafa doğru eğilimlidir, çünkü ${ Displaystyle t-d ( gama (t), x) = d ( gama (t), gama (0)) - d ( gama (t), x)}$ yukarıda ${ displaystyle d ( gama (0), x)}$ ve şu tarihten beri artmayan ${ displaystyle s leq t}$,

${ displaystyle t-s + d (x, gama (t)) - d (x, gama (t)) geq t-s-d ( gama (k), gama (t)) = 0.}$

Üçgen eşitsizliğinden hemen sonra

${ displaystyle | B _ { gamma} (x) -B _ { gamma} (y) | leq d (x, y),}$

Böylece ${ displaystyle B _ { gamma}}$ düzgün bir şekilde süreklidir. Daha spesifik olarak, yukarıdaki tahmin göstermektedir ki,

• Busemann işlevleri Lipschitz fonksiyonları sabit 1.^[1]

Tarafından Dini teoremi, fonksiyonlar ${ displaystyle F_ {t} (x) = d (x, gamma (t)) - t}$ eğilimi ${ displaystyle B _ { gamma} (x)}$ tekdüze olarak kompakt setlerde t sonsuzluğa meyillidir.

Örnek: Poincaré disk

İzin Vermek D Poincaré metriğiyle karmaşık düzlemde birim disk olun

${ displaystyle ds ^ {2} = {4 , | dz | ^ {2} over (1- | z | ^ {2}) ^ {2}}.}$

Sonra | z | <1 ve | ζ | = 1, Busemann işlevi tarafından verilir

${ displaystyle B _ { zeta} (z) = - log , sol ({1- | z | ^ {2} üzerinden | z- zeta | ^ {2}} sağ),}$

sağ taraftaki parantez içindeki terim, Poisson çekirdeği birim disk için ve ζ, radyal jeodezik γ'e karşılık gelir, orijinden towards, γ'ye doğru (t) = ζ tanh (t/ 2). Hesaplanması d(x,y) şu kadar düşürülebilir: d(z,0) = d(|z|, 0) = tanh⁻¹ |z| = günlük (1+ |z|)/(1-|z|), metrik değişmez olduğu için Möbius dönüşümleri SU'da (1,1); 0 ile jeodezikler form biçimindedir g_t(0) nerede g_t SU'nun 1 parametreli alt grubudur (1,1)

${ displaystyle g_ {t} = { begin {pmatrix} cosh t / 2 & sinh t / 2 sinh t / 2 & cosh t / 2 end {pmatrix}}.}$

Yukarıdaki formül ayrıca Möbius değişmezliği ile Busemann fonksiyonunu tamamen belirler. Bunu not et

${ displaystyle {1- | z | ^ {2} fazla | z- zeta | ^ {2}} leq {1- | z | ^ {2} fazla (1- | z |) ^ {2 }} = 1- left ({| z | over 1- | z |} right) ^ {2} leq 1,}$

Böylece bu durumda Busemann işlevi negatif değildir.^[2]

Busemann bir Hadamard uzayında çalışır

İçinde Hadamard alanı, herhangi iki noktanın benzersiz bir jeodezik segment ile birleştiği yerde, fonksiyon F = F_t dır-dir dışbükey, yani jeodezik segmentler üzerinde dışbükey [x,y]. Açıkça bu, eğer z(s) [x,y] oranında s : (1 − s), sonra F(z(s)) ≤ s F(x) + (1 − s) F(y). Sabit için a işlev d(x,a) dışbükeydir ve dolayısıyla çevirileri de öyledir; özellikle, eğer γ bir jeodezik ışın ise X, sonra F_t dışbükeydir. Busemann işlevinden beri B_γ noktasal sınırdır F_t,

• Busemann fonksiyonları Hadamard uzaylarında dışbükeydir.^[3]
• Hadamard uzayında fonksiyonlar ${ displaystyle F_ {t} (y) = d (y, gama (t)) - t}$ eşit olarak yakınsamak ${ displaystyle B _ { gamma}}$ X'in herhangi bir sınırlı alt kümesinde eşit olarak.^[4][5]

İzin Vermek h(t) = d(y, γ (t)) − t = F_t(y). Γ (t) arclength ile parametrelendirilir, Alexandrov'un Hadamard uzayları için ilk karşılaştırma teoremi, fonksiyonun g(t) = d(y, γ (t))² − t² dışbükeydir. Dolayısıyla 0 < s < t

${ displaystyle g (s) leq (1- {s t üzeri}) g (0) + {s t üzeri} g (t).}$

Böylece

${ Displaystyle 2sh (s) leq (h (s) + s) ^ {2} -s ^ {2} = g (s) leq (1- {s t üzerinden}) d (x, y) ^ {2} + {s over t} (2th (t) + h (t) ^ {2}) leq d (x, y) ^ {2} + 2sh (t) + {s over t} d (x, y) ^ {2},}$

Böylece

${ displaystyle | F_ {s} (y) -F_ {t} (y) | = | h (s) -h (t) | leq {1 2'den fazla} (s ^ {- 1} + t ^ {-1}) d (x, y) ^ {2}.}$

İzin vermek t ∞ eğilimindeyse, bunu takip eder

${ displaystyle | F_ {s} (y) -B _ { gama} (y) | leq {d (x, y) ^ {2} 2 saniyeden fazla},}$

bu nedenle yakınsama sınırlı kümelerde tekdüze olur.

Yukarıdaki eşitsizliğin ${ displaystyle | F_ {s} (y) -F_ {t} (y) |}$ (ispatı ile birlikte) jeodezik segmentler için de geçerlidir: if Γ (t) başlayan jeodezik bir segmenttir x ve ark uzunluğu ile parametrelendirilirse

${ displaystyle | d (y, Gama (k)) - sd (y, Gama (t)) + t | leq (s ^ {- 1} + t ^ {- 1}) d (x, y ) ^ {2}.}$

Sonra varsayalım ki x, y Hadamard uzayındaki noktalardır ve δ (s) jeodezik olun x δ (0) = ile y ve δ (t) = x, nerede t = d(x,y). Bu jeodezik, kapalı topun sınırını keser B(y,r) δ noktasında (r). Böylece eğer d(x,y) > rbir nokta var v ile d(y,v) = r öyle ki d(x,v) = d(x,y) − r.

Bu durum Busemann işlevleri için devam eder. Busemann fonksiyonları için özelliğin ifadesi ve kanıtı, genelleştiren bir Hadamard uzayının kapalı konveks alt kümelerine dayanan temel bir teoreme dayanır. dikey projeksiyon içinde Hilbert uzayı: Eğer C Hadamard alanında kapalı bir dışbükey settir Xsonra her nokta x içinde X benzersiz bir en yakın noktası var P(x) ≡ P_C(x) içinde C ve d(P(x),P(y)) ≤ d(x,y); Dahası a = P(x) mülk tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. y içinde C,

${ displaystyle d (x, y) ^ {2} geq d (x, a) ^ {2} + d (a, y) ^ {2},}$

böylece açı a Öklid'de karşılaştırma üçgeni için a,x,y şundan büyük veya eşittir π/2.

• Eğer h Hadamard uzayında bir Busemann fonksiyonuysa, X ve r> 0'da y verildiğinde, h (v) = h (y) - r olacak şekilde d (y, v) = r ile benzersiz bir v noktası vardır. . Sabit r> 0 için v noktası, y'nin kapalı dışbükey C noktaları kümesine en yakın noktasıdır, öyle ki h (u) ≤ h (y) - r ve bu nedenle sürekli olarak y'ye bağlıdır.^[6]

İzin Vermek v en yakın nokta olmak y içinde C. Sonra h(v) = h(y) − r ve bu yüzden h küçültülür v içinde B(y,R) nerede R = d(y,v) ve v eşsiz noktadır burada h küçültülmüştür. Lipschitz durumuna göre r = |h(y) − h(v)| ≤ R. İddiayı kanıtlamak için şunu göstermek yeterlidir: R = ryani d(y,v) = r. Diğer taraftan, h herhangi bir kapalı fonksiyon topu için tekdüze sınırdır h_n. Açık B(y,r), bunlar noktalarla küçültülür v_n ile h_n(v_n) = h_n(y) − r. Bu nedenle sonsuz h açık B(y,r) dır-dir h(y) − r ve h(v_n) eğilimi h(y) − r. Böylece h(v_n) = h(y) − r_n ile r_n ≤ r ve r_n eğilimli r. İzin Vermek sen_n en yakın nokta olmak y ile h(sen_n) ≤ h(y) − r_n. İzin Vermek R_n = d(y,sen_n) ≤ r. Sonra h(sen_n) = h(y) − r_nve Lipschitz şartına göre h, R_n ≥ r_n. Özellikle R_n eğilimi r. Gerekirse bir alt diziye geçerken, şu varsayılabilir: r_n ve R_n her ikisi de artıyor ( r). Dışbükey optimizasyon eşitsizliği, n > m.

${ displaystyle d (u_ {n}, u_ {m}) ^ {2} leq R_ {n} ^ {2} -R_ {m} ^ {2} leq 2r | R_ {n} -R_ {m } |,}$

Böylece sen_n bir Cauchy dizisidir. Eğer sen o zaman sınırı d(y,sen) = r ve h(sen) = h(y) − r. Benzersizlikle bunu takip eder sen = v ve dolayısıyla d(y,v) = r, gereğince, gerektiği gibi.

Tek tip sınırlar. Yukarıdaki argüman daha genel olarak şunu kanıtlıyor: d(x_n,x₀) sonsuza ve fonksiyonlara eğilimlidir h_n(x) = d(x,x_n) – d(x_n,x₀) sınırlı kümeler üzerinde eşit olarak h(x), sonra h dışbükeydir, Lipschitz sabiti 1 olan Lipschitz, verilir y içinde X ve r > 0, benzersiz bir nokta var v ile d(y,v) = r öyle ki h(v) = h(y) − r. Öte yandan sıra (x_n) sınırlı ise, terimlerin hepsi kapalı bir topun içinde yer alır ve oradaki tek tip yakınsaklık (x_n) bir Cauchy dizisidir, bu nedenle bazılarına yakınsar x_∞ içinde X. Yani h_n eşit olarak eğilimli h_∞(x) = d(x,x_∞) – d(x_∞,x₀), aynı formdaki bir işlev. Aynı argüman, aynı üç koşulu sağlayan (dışbükey, Lipschitz ve kapalı toplarda minimum olan) işlevler sınıfının, sınırlı kümeler üzerinde tek tip sınırlar altında kapalı olduğunu da göstermektedir.

Yorum Yap. Hadamard uzayının bir Hadamard alt kümesinin herhangi bir kapalı dışbükey alt kümesi aynı zamanda bir Hadamard boşluğu olduğundan, Hadamard uzayındaki herhangi bir kapalı topun Hadamard uzay olduğunu unutmayın. Özellikle, her jeodezik bölümün, tüm jeodezik içinde tanımlanmış bir jeodezik içinde yer alması gerekmemektedir. R hatta yarı sonsuz aralık [0, ∞). Bir Hilbert uzayının kapalı birim topu, uygun bir metrik uzay olmayan açık bir örnek verir.

• Eğer h bir dışbükey fonksiyonsa, 1 ve h sabitine sahip Lipschitz, h (v) = h (y) - r ile sınırdaki benzersiz bir v noktasında yarıçapı r ile y üzerinde ortalanmış herhangi bir kapalı top üzerinde minimumunu varsayar, o zaman her biri için y X'de benzersiz bir jeodezik ışın vardır, öyle ki δ (0) = y ve δ her kapalı dışbükey kümesi h h h (y) - r ile δ (r) 'de r> 0 ile keser, böylece h (δ )) = h (y) - t. Özellikle bu, her Busemann işlevi için geçerlidir.^[7]

Üçüncü koşul şunu ima eder: v en yakın nokta y kapalı dışbükey sette C_r puan sen öyle ki h(sen) ≤ h(y) – r. Hadi δ (t) 0 ≤ için t ≤ r jeodezik birleşme olmak y -e v. Sonra k(t) = h(δ (t)) - h(y) dışbükey bir Lipschitz fonksiyonudur [0,r] Lipschitz sabiti 1 ile tatmin edici k(t) ≤ – t ve k(0) = 0 ve k(r) = –r. Yani k her yerde kaybolur, çünkü 0 < s < r, k(s) ≤ –s ve |k(lar) | ≤ s. Bu nedenle h(δ (t)) = h(y) – t. Benzersizliğe göre δ (t) en yakın noktadır y içinde C_t ve en aza indiren benzersiz noktanın h içinde B(y,t). Benzersizlik, bu jeodezik bölümlerin keyfi olarak çakıştığını ima eder. r ve bu nedenle δ, belirtilen özelliğe sahip bir jeodezik ışına kadar uzanır.

• H = h ise_γ , sonra y'den başlayan jeodezik ışın δ, ${ displaystyle sup d ( gama (t), delta (t)) < infty}$. Eğer δ₁ y ile başlayan başka bir ışın ${ displaystyle sup d ( delta (t), delta _ {1} (t)) < infty}$ sonra δ₁ = δ.

İlk iddiayı kanıtlamak için, bunu kontrol etmek yeterlidir. t Yeterince büyük. Bu durumda γ (t) ve δ (t − h(y)) projeksiyonlarıdır x ve y kapalı dışbükey sete h ≤ −t. Bu nedenle, d(γ (t), δ (t − h(y))) ≤ d(x,y). Bu nedenle d(γ (t), δ (t)) ≤ d(γ (t), δ (t − h(y))) + d(δ (t − h(y)), δ (t)) ≤ d(x,y) + |h(y) |. İkinci iddia, çünkü d(δ₁(t), δ (t)) dışbükeydir ve [0, ∞) ile sınırlıdır, bu nedenle, t = 0, her yerde yok olmalı.

• H'nin sürekli bir dışbükey fonksiyon olduğunu ve X'deki her bir y için benzersiz bir jeodezik ışın olduğunu varsayalım δ, öyle ki δ (0) = y ve δ, her kapalı dışbükey seti h ≤ h (y) - r ile with'da r> 0'ı keser. (r), öyle ki h (δ (t)) = h (y) - t; h, bir Busemann işlevidir. h - h_δ sabit bir fonksiyondur.^[7]

İzin Vermek C_r kapalı dışbükey noktalar kümesi z ile h(z) ≤ −r. Dan beri X her nokta için bir Hadamard alanı y içinde X benzersiz bir en yakın nokta var P_r(y) için y içinde C_r. Sürekli bağlıdır y ve eğer y dışarıda yatıyor C_r, sonra P_r(y) hiper yüzeyde yatıyor h(z) = − r- sınır ∂C_r nın-nin C_r-ve P_r(y) dışbükey optimizasyon eşitsizliğini karşılar. Hadi δ (s) başlayan jeodezik ışın olmak y.

Düzelt x içinde X. Hadi γ (s) başlayan jeodezik ışın olmak x. İzin Vermek g(z) = h_γ(z), Busemann fonksiyonu için γ taban noktası ile x. Özellikle g(x) = 0. Bunu göstermek yeterlidir. g = h – h(y)1. Şimdi al y ile h(x) = h(y) ve δ (t) başlayan jeodezik ışın olmak y karşılık gelen h. Sonra

${ Displaystyle d (x, y) geq d ( gamma (t), delta (t)), , , , d (x, delta (t)) ^ {2} geq d ( x, gamma (t)) ^ {2} + d ( gamma (t), delta (t)) ^ {2}, , , , d (y, gamma (t)) ^ { 2} geq d (y, delta (t)) ^ {2} + d ( gamma (t), delta (t)) ^ {2}.}$

Öte yandan, herhangi bir dört puan için a, b, c, d bir Hadamard uzayında, aşağıdaki dörtgen eşitsizliği Reshetnyak tutar:

${ displaystyle | d (a, c) ^ {2} + d (b, d) ^ {2} -d (a, d) ^ {2} -d (b, d) ^ {2} | leq 2d (a, b) d (c, d).}$

Ayar a = x, b = y, c = γ (t), d = δ (t), bunu takip eder

${ displaystyle | d (y, gama (t)) ^ {2} -d (x, delta (t)) ^ {2} | leq 2d (x, y) ^ {2},}$

Böylece

${ displaystyle | d (y, gama (t)) - d (x, gama (t)) | leq 2 {d (x, y) ^ {2} d (y, gama (t )) + d (x, gamma (t))} leq {d (x, y) ^ {2} over t}.}$

Bu nedenle h_γ(y) = 0. Benzer şekilde h_δ(x) = 0. Dolayısıyla h_γ(y) = 0 düz yüzeyinde h kapsamak x. Şimdi için t ≥ 0 ve z içinde X, hadi α_t(z) = γ₁(t) başlayan jeodezik ışın z. Sonra α_{s + t} = α_s ∘ α_t ve h ∘ α_t = h − t. Üstelik sınırlılıkla, d(α_t(sen), α_t(v)) ≤ d(sen,v). Akış α_s bu sonucu tüm düz yüzeylere taşımak için kullanılabilir. h. Genel olarak y₁, Eğer h(y₁) < h(x) almak s > 0 öyle ki h(α_s(x)) = h(y₁) ve ayarlayın x₁ = α_s(x). Sonra h_γ1(y₁) = 0, burada γ₁(t) = α_t(x₁) = γ (s + t). Ama sonra h_γ1 = h_γ – s, Böylece h_γ(y₁) = s. Bu nedenle g(y₁) = s = h((α_s(x)) – h(x) = h(y₁) – h(x), gereğince, gerektiği gibi. Benzer şekilde eğer h(y₁) > h(x) almaks > 0 öyle ki h(α_s(y₁)) = h(x). İzin Vermek y = α_s(y₁). Sonrah_γ(y) = 0, yani h_γ(y₁) = –s. Bu nedenle g(y₁) = –s = h(y₁) – h(x), gereğince, gerektiği gibi.

Son olarak, aynı Busemann fonksiyonunu sabit bir şekilde tanımlamak için iki jeodezik için gerekli ve yeterli koşullar vardır:

• Bir Hadamard uzayında, Busemann iki jeodezik ışının fonksiyonları ${ displaystyle gamma _ {1}}$ ve ${ displaystyle gamma _ {2}}$ sabit bir farklılık gösterebilir, ancak ve ancak ${ displaystyle sup _ {t geq 0} d ( gamma _ {1} (t), gamma _ {2} (t)) < infty}$.^[8]

İlk olarak γ ve δ'nin Busemann fonksiyonları sabit olarak farklı olan iki jeodezik ışın olduğunu varsayalım. Jeodeziklerden birinin argümanını bir sabit kaydırarak, şu varsayılabilir: B_γ = B_δ = B, söyle. İzin Vermek C kapalı dışbükey set olmak B(x) ≤ −r. Sonra B(γ (t)) = B_γ(γ (t)) = −t ve benzer şekilde B(δ (t)) = − t. Bundan dolayı s ≤ r, noktalar γ (s) ve δ (s) en yakın noktalara sahip γ (r) ve δ (r) içinde C, Böylece d(γ (r), δ (r)) ≤ d(γ (s), δ (s)). Bu nedenle sup_{t ≥ 0} d(γ (t), δ (t)) < ∞.

Şimdi varsayalım ki sup_{t ≥ 0} d(γ₁(t), γ₂(t)) < ∞. Hadi δ_ben(t) başlayan jeodezik ışın olmak y ile ilişkili h_γben. Sonra sup_{t ≥ 0} d(γ_ben(t), δ_ben(t)) < ∞. Bu nedenle sup_{t ≥ 0} d(δ₁(t), δ₂(t)) < ∞. Δ'den beri₁ ve δ₂ her ikisi de başlar y, bunu izler δ₁(t) ≡ δ₂(t). Önceki sonuca göre h_γben ve h_δben sabit olarak farklılık gösterir; yani h_γ1 ve h_γ2 sabit olarak farklılık gösterir.

Özetlemek gerekirse, yukarıdaki sonuçlar bir Hadamard uzayında Busemann fonksiyonlarının aşağıdaki karakterizasyonunu verir:^[7]

TEOREM. Bir Hadamard uzayında, bir f fonksiyonundaki aşağıdaki koşullar eşdeğerdir:

• h bir Busemann işlevidir.
• h dışbükey bir fonksiyondur, sabit 1 ve h olan Lipschitz, h (v) = h (y) - r ile sınırdaki benzersiz bir v noktasında yarıçapı r ile y üzerinde merkezlenmiş herhangi bir kapalı top üzerinde minimumunu varsayar.
• h sürekli bir dışbükey fonksiyondur ve X'teki her bir y için benzersiz bir jeodezik ışın vardır δ öyle ki δ (0) = y ve herhangi bir r> 0 için ışın δ her kapalı dışbükey kümeyi h ≤ h (y) keser - r içinde δ (r).

Hadamard uzayının bordifikasyonu

Önceki bölümde, eğer X bir Hadamard alanıdır ve x₀ sabit bir noktadır X sonra Busemann fonksiyonlarının uzay birleşimi x₀ ve fonksiyonların alanı h_y(x) = d(x,y) − d(x₀,y), sınırlı kümeler üzerinde tek tip sınırlar alınarak kapatılır. Bu sonuç şu kavramla resmileştirilebilir: bordifikasyon nın-nin X.^[9] Bu topolojide, noktalar x_n jeodezik ışın eğilimindedir x₀ ancak ve ancak d(x₀,x_n) ∞ eğilimindedir ve t > 0 keyfi olarak her bir segmentteki nokta alınarak elde edilen dizi [x₀,x_n] uzaktan t itibaren x₀ eğilimi γ (t).

Eğer X bir metrik uzaydır, Gromov'un bordifikasyonu aşağıdaki gibi tanımlanabilir. Bir noktayı düzelt x₀ içinde X ve izin ver X_N = B(x₀,N). İzin Vermek Y = C(X) Lipschitz sürekli fonksiyonlarının uzayı olması X, .e. bunlar için |f(x) – f(y)| ≤ Bir d(x,y) bazı sabitler için Bir > 0. Boşluk Y seminormlar tarafından topologize edilebilir ||f||_N = sup_XN |f|, sınırlı kümeler üzerinde düzgün yakınsamanın topolojisi. Seminormlar, Lipschitz koşullarına göre sonludur. Bu, doğal haritanın neden olduğu topolojidir. C(X) Banach uzaylarının doğrudan çarpımına C_b(X_N) sürekli sınırlı fonksiyonların X_N. Metrik tarafından verilir D(f,g) = ∑ 2^−N ||f − g||_N(1 +||f − g||_N)⁻¹.

Boşluk X gömülü Y göndererek x işleve f_x(y) = d(y,x) – d(x₀,x). İzin Vermek X kapanış olmak X içinde Y. Sonra X ölçülebilir, çünkü Y ve içerir X açık bir alt küme olarak; dahası, farklı taban noktası seçimlerinden kaynaklanan sınırlamalar doğal olarak homeomorfiktir. İzin Vermek h(x) = (d(x,x₀) + 1)⁻¹. Sonra h yatıyor C₀(X). Sıfır değil X ve yalnızca ∞'ta kaybolur. Bu nedenle, sürekli bir işleve genişler. X sıfır set ile X \ X. Bunu takip eder X \ X kapalı X, gereğince, gerektiği gibi. Kontrol etmek için X = X(x₀) temel noktadan bağımsızdır, bunu göstermek yeterlidir k(x) = d(x,x₀) − d(x,x₁) üzerinde sürekli bir işleve genişler X. Fakat k(x) = f_x(x₁), için böylece g içinde X, k(g) = g(x₁). Dolayısıyla kompaktlaştırmalar arasındaki yazışma x₀ ve x₁ gönderilerek verilir g içinde X(x₀) için g + g(x₁) 1 inç X(x₁).

Ne zaman X bir Hadamard uzayı, Gromov'un ideal sınırı ∂X = X \ X Busemann fonksiyonları kullanılarak jeodezik ışınların "asimptotik limitleri" olarak açıkça gerçekleştirilebilir. Eğer x_n sınırsız bir dizidir X ile h_n(x) = d(x,x_n) − d(x_n,x₀) eğilimli h içinde Y, sonra h kaybolur x₀, dışbükeydir, Lipschitz sabiti 1 olan Lipschitz ve minimum h(y) − r herhangi bir kapalı topta B(y,r). Bu nedenle h bir Busemann işlevidir B_γ benzersiz bir jeodezik ışına karşılık gelen γ x₀.

Diğer taraftan, h_n eğilimi B_γ sınırlı kümelerde tekdüze olarak, ancak ve ancak d(x₀,x_n) ∞ eğilimindedir ve t > 0 keyfi olarak her bir segmentteki nokta alınarak elde edilen dizi [x₀,x_n] uzaktan t itibaren x₀ eğilimi γ (t). İçin d(x₀,x_n) ≥ t, İzin Vermek x_n(t) nokta [x₀,x_n] ile d(x₀,x_n(t)) = t. Önce varsayalım ki h_n eğilimi B_γ aynı şekilde B(x₀,R). Bundan dolayı t ≤ R,|h_n(γ (t)) – B_γ(γ (t))|=d(γ (t),x_n) – d(x_n,x₀) + t. Bu dışbükey bir işlevdir. Olarak kaybolur t = 0 ve dolayısıyla artıyor. Böylece maksimize edilir t = R. Yani her biri için t, |d(γ (t),x_n) – d(x_n,x₀) – t| 0'a doğru eğilimlidir. a = X₀, b = γ (t) ve c = x_n. Sonra d(c,a) – d(c,b) yakın d(a,b) ile d(c,a) büyük. Dolayısıyla Öklid karşılaştırma üçgeninde CA - CB yakın AB ile CA büyük. Yani açı Bir küçük. Yani nokta D açık AC ile aynı mesafede AB yakın yatıyor B. Dolayısıyla, jeodezik üçgenler için ilk karşılaştırma teoremi ile, d(x_n(t), γ (t)) küçüktür. Tersine varsayalım ki sabit t ve n Yeterince büyük d(x_n(t), γ (t)) 0'a meyillidir. Sonra yukarıdan F_s(y) = d(y, γ (s)) – s tatmin eder

${ displaystyle | F_ {s} (y) -B _ { gamma} (y) | leq {d (x_ {0}, y) ^ {2} 2 saniyeden fazla}}$

bu nedenle, herhangi bir sınırlı kümede h_n(y) = d(y,x_n) – d(x₀,x_n) eşit olarak yakındır F_s(y) için n Yeterince büyük.^[10]

Sabit bir top için B(x₀,R), düzelt s Böylece R²/s ≤ ε. Bu durumda iddia, bir Hadamard uzayındaki jeodezik segmentler için eşitsizliğin acil bir sonucudur, çünkü

${ displaystyle | d (y, x_ {n}) - d (y, x_ {0}) - d (y, x_ {n} (s)) + s | leq {d (x_ {0}, y ) ^ {2} over s} leq varepsilon.}$

Bu nedenle, eğer y içinde B(x₀,R) ve n yeterince büyük d(x_n(s), γ (s)) ≤ ε, sonra

${ displaystyle | h_ {n} (y) -B _ { gamma} (y) | = | d (y, x_ {n}) - d (y, x_ {0}) - B _ { gamma} (y ) | leq | d (y, x_ {n}) - d (y, x_ {0}) - d (y, x_ {n} (s)) + s | + d (x_ {n} (s) , gamma (s)) + | F_ {s} (y) -B _ { gamma} (y) | leq 3 varepsilon.}$

Busemann bir Hadamard manifoldunda çalışır

Farz et ki x, y Hadamard manifoldundaki noktalardır ve γ(s) jeodezik olun x ile γ(0) = y. Bu jeodezik, kapalı topun sınırını keser B(y,r) iki noktada γ (±r). Böylece eğer d(x,y) > rnoktalar var sen, v ile d(y,sen) = d(y,v) = r öyle ki |d(x,sen) − d(x,v)| = 2r. Süreklilikle bu durum Busemann işlevleri için devam eder:

• Eğer h Hadamard manifoldunda bir Busemann fonksiyonuysa, X ve r> 0'da y verildiğinde, d (y, u) = d (y, v) = r ile h (u ) = h (y) + r ve h (v) = h (y) - r. Sabit için r > 0, puan sen ve v sürekli bağlı y.^[3]

Bir sekans almak t_n ∞ eğilimi ve h_n = F_tnnoktalar var sen_n ve v_n bu koşulları sağlayan h_n için n Yeterince büyük. Gerekirse bir alt diziye geçmek, varsayılabilir sen_n ve v_n eğilimi sen ve v. Süreklilik ile bu noktalar aşağıdaki koşulları sağlar: h. Benzersizliği kanıtlamak için şunu unutmayın: h maksimum ve minimum olduğunu varsayar B(y,r). Lipschitz koşulu, değerlerinin h en fazla 2 farklılık vardırr. Bu nedenle h küçültülür v ve maksimize edildi sen. Diğer taraftan, d(sen,v) = 2r ve için sen ve v puanlar v ve sen benzersiz noktalar B(y,r) bu mesafeyi maksimize etmek. Lipschitz koşulu h sonra hemen ima eder sen ve v benzersiz noktalar olmalı B(y,r) maksimize etmek ve küçültmek h. Şimdi varsayalım ki y_n eğilimi y. Sonra karşılık gelen noktalar sen_n ve v_n kapalı bir topun içinde yatın, bu yüzden yakınsak alt dizileri kabul edin. Ama benzersizliğiyle sen ve v bu tür alt diziler eğilimli olmalıdır sen ve v, Böylece sen_n ve v_neğilimli olmalı sen ve v, süreklilik kurmak.

Yukarıdaki sonuç daha genel olarak bir Hadamard uzayında geçerlidir.^[11]

• Eğer h bir Hadamard manifoldunda bir Busemann fonksiyonuysa, h sürekli olarak || dh (y) || ile türevlenebilir. = 1 tüm y için.^[3]

Önceki özelliklerinden h, her biri için y benzersiz bir jeodezik var γ (t) γ (0) = ile ark uzunluğu ile parametrelendirilmiştir. y öyle ki h ∘ γ (t) = h(y) + t. Kesebilme özelliğine sahiptir ∂B(y,r) t = ±r: önceki gösterimde γ (r) = sen ve γ (-r) = v. Vektör alanı V_h birim vektör tarafından tanımlanmıştır ${ displaystyle { dot { gamma}} (0)}$ -de y süreklidir çünkü sen sürekli bir fonksiyonudur y ve harita gönderiyor (x,v) için (x,tecrübe_x v) bir diffeomorfizmdir TX üstüne X × X tarafından Cartan-Hadamard teoremi. Hadi δ (s) ark uzunluğu ile oluşturulan başka bir jeodezik parametresi olabilir y δ (0) = ile y. Sonra dh ∘ δ (0) / ds = ${ displaystyle ({ nokta { delta}} (0), { nokta { gama}} (0))}$. Doğrusu bırak H(x) = h(x) − h(y), Böylece H(y) = 0. Sonra

${ Displaystyle | H ( delta (k)) - H (x) | leq d ( delta (lar), x).}$

Bunu uygulayarak x = sen ve vbunu takip eder s > 0

${ Displaystyle (rd ( delta (s), u)) / s leq (h ( delta (s)) - h (y)) / s leq (d ( delta (s), v) - r) / s.}$

Dış terimler ${ displaystyle ({ nokta { delta}} (0), { nokta { gama}} (0))}$ gibi s 0 eğilimindedir, bu nedenle orta terim iddia edildiği gibi aynı limite sahiptir. Benzer bir argüman için de geçerlidir s < 0.

Dış terimlerle ilgili iddia, yay uzunluğu için ilk varyasyon formülünden gelir, ancak aşağıdaki gibi doğrudan çıkarılabilir. İzin Vermek ${ displaystyle a = { nokta { delta}} (0)}$ ve ${ displaystyle b = { nokta { gama}} (0)}$, her iki birim vektör. Sonra teğet vektörler için p ve q -de y birim topunda^[12]

${ displaystyle d ( exp _ {y} p, exp _ {y} q) = | pq | + varepsilon max | p | ^ {2}, | q | ^ {2 }}$

ε düzgün sınırlı. İzin Vermek s = t³ ve r = t². Sonra

${ displaystyle (d ( delta (s), v) -r) / s = (d ( exp _ {y} (t ^ {3} a), exp _ {y} (- t ^ {2 } b)) - t ^ {2}) / t ^ {3} = ( | t ^ {3} a + t ^ {2} b | -t ^ {2}) / t ^ {3} + varepsilon | t | = ( | ta + b | -1) / t + varepsilon | t |.}$

Sağ taraf burada (a,b) gibi t beri 0 eğilimindedir

${ displaystyle {d dt üzerinde} | b + ta || _ {t = 0} = {1 2} üzerinde , {d dt üzerinde} | b + ta | ^ {2} | _ {t = 0} = (a, b).}$

Aynı yöntem diğer terimler için de geçerlidir.

Dolayısıyla bunu takip eder h bir C¹ ile işlev dh vektör alanına çift V_h, böylece ||dh(y) || = 1. Vektör alanı V_h bu nedenle degrade vektör alanı için h. Herhangi bir noktadan geçen jeodezikler, α akışının akış çizgileridir._t için V_h, böylece α_t ... gradyan akışı için h.

TEOREM. Bir Hadamard manifoldunda X, sürekli bir h fonksiyonunda aşağıdaki koşullar eşdeğerdir:^[3]

1. h bir Busemann işlevidir.
2. h bir dışbükeydir, 1 sabiti olan Lipschitz fonksiyonu ve X'teki her y için u noktaları vardır_± y'den r uzaklıkta öyle ki h (u_±) = h (y) ± r.
3. h dışbükey C'dir¹ || dh (x) || ile fonksiyon ≡ 1.

(1) 'in (2) anlamına geldiği zaten kanıtlanmıştır.

Yukarıdaki argümanlar gerekli değişiklikler yapılarak (2), (3) 'ü ima eder.

Bu nedenle, (3) 'ün (1)' i ima ettiğini göstermek için kalır. Düzelt x içinde X. Α edelim_t gradyan akışı olmak h. Bunu takip eder h ∘ α_t (x) = h(x) + t ve şu γ (t) = α_t(x) jeodeziktir x arclength ile parametrelendirilmiştir γ (0) = x. Gerçekten, eğer s < t, sonra

${ displaystyle | st | = | h ( alpha _ {s} (x)) - h ( alpha _ {t} (x)) | leq d ( alpha _ {s} (x), alpha _ {t} (x)) leq int _ {s} ^ {t} | d alpha _ { tau} (x) / d tau | , d tau = int _ {s } ^ {t} | dh ( alpha _ { tau} (x)) | , d tau = | st |,}$

Böylece d(γ (s), γ (t)) = |s − t|. İzin Vermek g(y) = h_γ(y), Busemann fonksiyonu için γ taban noktası ile x. Özellikle g(x) = 0. (1) 'i ispatlamak için, g = h – h(x)1.

İzin Vermek C(−r) kapalı dışbükey noktalar kümesi z ile h(z) ≤ −r. Dan beri X her nokta için bir Hadamard alanı y içinde X benzersiz bir en yakın nokta var P_r(y) için y içinde C(-r). Sürekli bağlıdır y ve eğer y dışarıda yatıyor C(-r), sonra P_r(y) hiper yüzeyde yatıyor h(z) = − r- sınır ∂C(–r) nın-nin C(–r) - ve jeodezik y -e P_r(y) ∂ 'ye ortogonaldirC(–r). Bu durumda jeodezik sadece α_t(y). Aslında, α_t gradyan akışı h ve koşullar ||dh(y) || ≡ 1, α akış çizgilerinin_t(y) ark uzunluğu ile parametrelendirilen jeodeziklerdir ve h ortogonal olarak. Alma y ile h(y) = h(x) ve t > 0,

${ displaystyle d (x, y) geq d ( alpha _ {t} (x), alpha _ {t} (y)), , , , d (x, alpha _ {t} (y)) ^ {2} geq d (x, alpha _ {t} (x)) ^ {2} + d ( alpha _ {t} (x), alpha _ {t} (y) ) ^ {2}, , , , d (y, alpha _ {t} (x)) ^ {2} geq d (y, alpha _ {t} (y)) ^ {2} + d ( alpha _ {t} (x), alpha _ {t} (y)) ^ {2}.}$

Öte yandan, herhangi bir dört puan için a, b, c, d bir Hadamard uzayında, aşağıdaki dörtgen eşitsizliği Reshetnyak tutar:

${ displaystyle | d (a, c) ^ {2} + d (b, d) ^ {2} -d (a, d) ^ {2} -d (b, d) ^ {2} | leq 2d (a, b) d (c, d).}$

Ayar a = x, b = y, c = α_t(x), d = α_t(y), bunu takip eder

${ displaystyle | d (y, alpha _ {t} (x)) ^ {2} -d (x, alpha _ {t} (x)) ^ {2} | leq 2d (x, y) ^ {2},}$

Böylece

${ displaystyle | d (y, alpha _ {t} (x)) - d (x, alpha _ {t} (x)) | leq 2 {d (x, y) ^ {2} fazla d (y, alpha _ {t} (x)) + d (x, alpha _ {t} (x))} leq {d (x, y) ^ {2} over t}.}$

Bu nedenle h_γ(y) = 0 düz yüzeyinde h kapsamak x. Akış α_s bu sonucu tüm düz yüzeylere taşımak için kullanılabilir h. Genel olarak y₁ almak s öyle ki h(α_s(x)) = h(y₁) ve ayarlayın x₁ = α_s(x). Sonra h_γ1(y₁) = 0, burada γ₁(t) = α_t(x₁) = γ (s + t). Ama sonra h_γ1 = h_γ – s, Böylece h_γ(y₁) = s. Bu nedenle g(y₁) = s = h((α_s(x)) – h(x) = h(y₁) – h(x), gereğince, gerektiği gibi.

Bu argümanın, iki Busemann fonksiyonunun kullanılmasıyla kısaltılabileceğini unutmayın. h_γ ve h_δ ancak ve ancak karşılık gelen jeodezik ışınlar sup_{t ≥ 0} d(γ (t), δ (t)) <∞. Aslında, α akışıyla tanımlanan tüm jeodezikler_t son koşulu karşılar, bu nedenle sabitlere göre farklılık gösterir. Bu jeodeziklerin herhangi biri boyunca h türev 1 ile doğrusaldır, h bu Busemann işlevlerinden sabitlerle farklılık göstermelidir.

Uygun bir Hadamard uzayının sıkıştırılması

Eberlein ve O'Neill (1973) bir sıkıştırmayı tanımladı Hadamard manifoldu X Busemann işlevlerini kullanır. Daha genel olarak uygun şekilde genişletilebilen yapıları (yani yerel olarak kompakt) Hadamard uzayları, daha genel bir sınıf için Gromov tarafından tanımlanan bir yoğunlaştırmanın açık bir geometrik gerçekleştirilmesini - "ideal bir sınır" ekleyerek verir. uygun metrik uzaylar X, her kapalı topun kompakt olduğu. Herhangi bir Cauchy dizisi kapalı bir top içinde bulunduğundan, herhangi bir uygun metrik uzay otomatik olarak tamamlanır.^[13] İdeal sınır, bir metrik uzay için ideal sınırın özel bir durumudur. Hadamard uzayları durumunda bu, uzayın bordifikasyonunda Busemann fonksiyonları kullanılarak tanımlanan herhangi bir sabit noktadan çıkan jeodezik ışınların uzayıyla uyuşmaktadır.

Eğer X uygun bir metrik uzay ise, Gromov'un sıkıştırması aşağıdaki gibi tanımlanabilir. Bir noktayı düzelt x₀ içinde X ve izin ver X_N = B(x₀,N). İzin Vermek Y = C(X) Lipschitz sürekli fonksiyonlarının uzayı olması X, .e. bunlar için |f(x) – f(y)| ≤ Bir d(x,y) bazı sabitler için Bir > 0. Boşluk Y seminormlar tarafından topologize edilebilir ||f||_N = sup_XN |f|, kompakta üzerinde düzgün yakınsamanın topolojisi. Bu, doğal haritanın neden olduğu topolojidir. C(X) Banach uzaylarının doğrudan çarpımına C(X_N). Metrik tarafından verilir D(f,g) = ∑ 2^−N ||f − g||_N(1 +||f − g||_N)⁻¹.

Boşluk X gömülü Y göndererek x işleve f_x(y) = d(y,x) – d(x₀,x). İzin Vermek X kapanış olmak X içinde Y. Sonra X kompakttır (metrisable) ve şunları içerir: X açık bir alt küme olarak; dahası, farklı temel nokta seçimlerinden kaynaklanan yoğunlaştırmalar doğal olarak homeomorfiktir. Kompaktlık, Arzelà-Ascoli teoremi görüntüden beri C(X_N) dır-dir eşit süreksiz ve norm olarak tekdüze olarak sınırlandırılmıştır N. İzin Vermek x_n sıralı olmak X ⊂ X eğiliminde y içinde X \ X. O zaman sonlu birçok terim dışında hepsi dışarıda kalmalı X_N dan beri X_N kompakttır, böylece herhangi bir alt dizinin içindeki bir noktaya yakınsaması X_N; yani sıra x_n sınırsız olmalı X. İzin Vermek h(x) = (d(x,x₀) + 1)⁻¹. Sonra h yatıyor C₀(X). Sıfır değil X ve yalnızca ∞'ta kaybolur. Bu nedenle, sürekli bir işleve genişler. X sıfır set ile X \ X. Bunu takip eder X \ X kapalı X, gereğince, gerektiği gibi. Kompaktlaştırmanın X = X(x₀) temel noktadan bağımsızdır, bunu göstermek yeterlidir k(x) = d(x,x₀) − d(x,x₁) üzerinde sürekli bir işleve genişler X. Fakat k(x) = f_x(x₁), için böylece g içinde X, k(g) = g(x₁). Dolayısıyla kompaktlaştırmalar arasındaki yazışma x₀ ve x₁ gönderilerek verilir g içinde X(x₀) için g + g(x₁) 1 inç X(x₁).

Ne zaman X bir Hadamard manifoldudur (veya daha genel olarak uygun bir Hadamard uzayı), Gromov'un ideal sınırı ∂X = X \ X Busemann fonksiyonları kullanılarak jeodeziklerin "asimptotik limitleri" olarak açıkça gerçekleştirilebilir. Bir temel noktayı sabitleme x₀, benzersiz bir jeodezik var γ (t) γ (0) = olacak şekilde yay uzunluğu ile parametrelendirilir. x₀ ve ${ displaystyle { dot { gamma}} (0)}$ verilen bir birim vektördür. Eğer B_γ karşılık gelen Busemann işlevi iseB_γ yatıyor ∂X(x₀) ve birimin homeomorfizmini indükler (n - 1) -spere ∂ üzerineX(x₀), gönderme ${ displaystyle { dot { gamma}} (0)}$ -e B_γ.

Poincaré disk, CAT (-1) ve hiperbolik uzaylarda Quasigeodesics

Mors-Mostow lemma

Poincaré diski, CAT (-1) ve hiperbolik uzaylar gibi negatif eğrilik uzayları söz konusu olduğunda, Gromov sınırlarında bir metrik yapı vardır. Bu yapı, jeodezik ışınları kuasigeodezik ışınlara taşıyan yarı izometriler grubu tarafından korunur. Kuasigeodezikler ilk olarak negatif eğimli yüzeyler için - özellikle hiperbolik üst yarım düzlem ve birim disk - için incelenmiştir. Mors ve negatif eğimli olarak genelleştirilmiş simetrik uzaylar tarafından Mostow, üzerindeki çalışması için ayrık grupların sertliği. Temel sonuç, Mors-Mostow lemma jeodeziklerin kararlılığı üzerine.^{[14][15][16][17]}

Tanım olarak a kuasigeodezik Γ bir aralıkta tanımlanmış [a,b] −∞ ≤ ile a < b ≤ ∞ bir haritadır Γ (t) λ ≥ 1 ve ε> 0 sabitlerinin olduğu, zorunlu olarak sürekli olmayan bir metrik uzaya s ve t:

${ displaystyle lambda ^ {- 1} | s-t | - varepsilon leq d ( Gama (s), Gama (t)) leq lambda | s-t | + varepsilon.}$

Aşağıdaki sonuç esasen Marston Morse (1924).

Morse'un jeodezik kararlılığı üzerine lemması. Hiperbolik diskte sabit bir R λ ve ε'ye bağlı olarak, herhangi bir kuasigeodezik segment ite sonlu bir aralıkta tanımlanacak şekilde [a,b] içinde Hausdorff mesafesi R jeodezik segmentin [Γ (a), Γ (b)].^[18][19]

Poincaré disk için klasik kanıt

Morse'un Poincaré birim diski veya üst yarım düzlem için lemmasının klasik kanıtı, jeodezik segment üzerine ortogonal projeksiyon kullanarak daha doğrudan ilerler.^[20][21][22]

• Γ değerinin daha güçlü "sözde jeodezik" koşulu karşıladığı varsayılabilir:^[23]

${ displaystyle lambda ^ {- 1} | s-t | - varepsilon leq d ( Gama (s), Gama (t)) leq lambda | s-t |.}$

Γ sürekli parçalı bir jeodezik eğri ile değiştirilebilir Δ aynı uç noktalar Γ'dan daha küçük olan sonlu bir Hausdorff mesafesinde c = (2λ² + 1) ε: Γ değerinin tanımlandığı aralığı 2λε uzunluğunda eşit alt aralıklara ayırın ve alt aralıkların uç noktalarının Γ altındaki görüntüler arasındaki jeodezikleri alın. Δ parçalı jeodezik olduğundan, Δ sabit λ ile Lipschitz süreklidir₁, d(Δ (s), Δ (t)) ≤ λ₁|s – t|, nerede λ₁ ≤ λ + ε. Alt sınır, aralıkların uç noktalarında otomatiktir. Yapısal olarak diğer değerler, yalnızca λ ve ε'ye bağlı olarak tekdüze bir sınırla bunlardan farklılık gösterir; alt sınır eşitsizliği, bu tekdüze sınırın iki katına ekleyerek ε'yi artırarak geçerli olur.

• Eğer pi bir parçalı düz eğri parçası ise, bir s- jeodezik bir hattın çevresi ve P jeodezik hat üzerine ortogonal projeksiyondur, bu durumda:^[24]

${ displaystyle ell (P circ gamma) leq { ell ( gamma) over cosh s}.}$

Üst yarı düzlemde bir izometri uygulandığında, jeodezik çizginin pozitif sanal eksen olduğu varsayılabilir, bu durumda üzerine ortogonal projeksiyon şu şekilde verilir: P(z) = ben|z| ve |z| / Im z = cosh d(z,Pz). Dolayısıyla hipotez, | γ (t) | ≥ cosh (s) Im γ (t), Böylece

${ displaystyle ell (P circ gamma) = int _ {a} ^ {b} {| d gamma | fazla | gamma |} leq int _ {a} ^ {b} {| d gamma | over cosh (s) , Im gamma} = { ell ( gamma) over cosh (s)}.}$

• Sabit var h > 0 sadece λ ve ε'ye bağlı olarak Γ [a,b] bir h- jeodezik segmentin komşuluğu [Γ (a), Γ (b)].^[25]

Hadi γ (t) jeodezik segmenti içeren jeodezik çizgi [Γ (a), Γ (b)]. Sonra bir sabit var h > 0 sadece λ ve ε'ye bağlı olarak h-mahalle Γ [a,b] bir hγ mahallesi (R). Gerçekten herhangi biri için s > 0, [a,b] bunun için Γ (t) kapanışının dışında yer alır sγ mahallesi (R) açık olduğundan, açık aralıkların sayılabilir bir birleşimi (c,d). Sonra

${ displaystyle ell ( Gama | _ {[c, d]}) leq s_ {1} eşit lambda ^ {2} (2s + varepsilon) sol (1 - { lambda ^ {2} fazla cosh (s)} sağ),}$

sol taraf λ'dan küçük veya eşit olduğu için |c – d| ve

${ displaystyle {| c-d | over lambda} - varepsilon leq d ( Gamma (c), Gamma (d)) leq 2s + d (P circ Gamma | _ {[c, d]}) leq 2s + { lambda | cd | fazla cosh (s)}.}$

Bu nedenle, her nokta şuna eşit veya daha az bir mesafede bulunur s + s₁ / γ (R). İddiayı çıkarmak için, [a,b] bunun için Γ (t) kapanışının dışında yer alır s- [Γ (a), Γ (b)] ⊂ γ (R) açık, yani aralıkların birleşimi (c,d) ile Γ (c) ve Γ (d) ikisi de uzaktan s + s₁ Γ (a) veya Γ (b). Sonra

${ displaystyle ell ( Gama | _ {[c, d]}) leq s_ {2} eşdeğeri lambda ^ {2} (2 (s + s_ {1}) + varepsilon),}$

dan beri

${ displaystyle {| c-d | over lambda} - varepsilon leq d ( Gama (c), Gama (d)) leq 2 (s + s_ {1}).}$

Dolayısıyla, iddia herhangi bir h daha büyük s +s₁ + s₂.

• Sabit var h > 0 sadece λ ve ε'ye bağlı olarak jeodezik segment [Γ (a), Γ (b)] bir h- Γ [mahallesia,b].^[26]

Her noktasında Γ [a,b] uzakta yatıyor h / [Γ (a), Γ (b)]. Böylece ortogonal projeksiyon P her noktayı Γ [a,b] kapalı dışbükey kümedeki bir noktaya [Γ (a), Γ (b)] daha kısa bir mesafede h. Dan beri P sürekli ve Γ [a,b] bağlı, harita P görüntü [Γ (a), Γ (b)]. Ama sonra [Γ (a), Γ (b)] mesafe içinde h bir noktadan Γ [a,b].

Gromov'un Poincaré diski için kanıtı

Morse lemasının CAT (-1) uzaylarına genelleştirilmesi genellikle Morse-Mostow lemması olarak adlandırılır ve klasik ispatın basit bir genellemesi ile kanıtlanabilir. Daha genel bir sınıf için de bir genelleme vardır. hiperbolik metrik uzaylar Gromov nedeniyle. Poincaré birim diski için Gromov'un kanıtı aşağıda verilmiştir; hiperbolik metrik uzayların özellikleri ispat sırasında geliştirilir, böylece uygulanır gerekli değişiklikler yapılarak CAT (-1) veya hiperbolik metrik uzaylar.^[14][15]

Bu büyük ölçekli bir fenomen olduğu için, {0, 1, 2, ..., den tüm haritaların Δ olup olmadığını kontrol etmek yeterlidir. N} herhangi N Eşitsizlikleri karşılayan diske> 0 Hausdorff mesafesi içinde R₁ jeodezik segmentin [Δ (0), Δ (N)]. Daha sonra çeviri için, genellik kaybı olmaksızın varsayılabilir Γ [0,r] ile r > 1 ve sonra N = [r] (tam sayı bölümü r), sonuç Δ ile tanımlanan Δ (ben) = Γ (ben). Γ ve Δ görüntüleri arasındaki Hausdorff mesafesi açıkça bir sabit R₂ sadece λ ve ε 'ye bağlıdır.

Şimdi incircle bir jeodezik üçgenin çapı δ'den küçüktür, burada δ = 2 log 3; aslında 2 log 3'e eşit olduğu ideal bir üçgen ile kesin olarak maksimize edilir. Özellikle, incircle üçgeni kırdığı için, üçgeni, orijinal üçgenin tepe noktasının karşısındaki üçüncü kenarı δ'den daha küçük olan üç ikizkenar üçgene böler. , bir jeodezik üçgenin her kenarının diğer iki tarafın neighborhood-komşuluğunda yer aldığı sonucu çıkar. Basit bir tümevarım argümanı, 2'li jeodezik bir poligonun^k İçin + 2 köşe k ≥ 0'ın her iki tarafı da bir (k + 1) δ diğer tarafların komşuluğu (böyle bir çokgen, iki jeodezik çokgen ile birleştirilerek yapılır. 2^k−1 + 1 ortak bir taraf boyunca kenarlar). Dolayısıyla eğer M ≤ 2^k + 2aynı tahmin şuna sahip bir çokgen için de geçerlidir M taraflar.

İçin y_ben = Δ (ben) İzin Vermek f(x) = dak d(x,y_ben), ortalanmış kapalı bir top için en büyük yarıçap x içermez y_ben iç kısmında. Bu, [Δ (0), Δ (N)] böylece maksimuma ulaşır h bir noktada x bu segmentte. Sonra [Δ (0), Δ (N)] bir h₁-herhangi biri için Δ görüntüsünün mahallesi h₁ > h. Bu nedenle bir üst sınır bulmak yeterlidir. h dan bağımsız N.

Seç y ve z segmentte [Δ (0), Δ (N)] önce ve sonra x ile d(x,y) = 2h ve d(x,z) = 2h (veya 2'den daha kısa bir mesafe içindeyse bir uç noktah itibaren x). Sonra var ben, j ile d(y, Δ (ben)), d(z, Δ (j)) ≤ h. Bu nedenle d(Δ (ben), Δ (j)) ≤ 6h, böylece |ben − j| ≤ 6λh + λε. Üçgen eşitsizliğine göre, segmentlerdeki tüm noktalar [y, Δ (ben)] ve [z, Δ (j)] uzaktadır ≥ h itibaren x. Böylece, başlayan sonlu bir nokta dizisi vardır. y ve bitiyor z, segmentte önce uzanmak [y, Δ (ben)], ardından Δ (ben), Δ (ben+1), ..., Δ (j), segmenti almadan önce [Δ (j),z]. Ardışık noktalar Δ (ben), Δ (ben+1), ..., Δ (j) are separated by a distance no greater than λ + ε and successive points on the geodesic segments can also be chosen to satisfy this condition. The minimum number K of points in such a sequence satisfies K ≤ |ben - j| + 3 + 2(λ + ε)^–1h. These points form a geodesic polygon, with [y,z] as one of the sides. Al L = [h/δ], so that the (L − 1)δ-neighbourhood of [y,z] does not contain all the other sides of the polygon. Hence, from the result above, it follows that K > 2^{L − 1} + 2. Hence

${displaystyle 3+2(lambda +varepsilon )^{-1}h+6lambda h+varepsilon >2^{h/delta }+2.}$

This inequality implies that h is uniformly bounded, independently of N, as claimed.

If all points Δ(ben) lie within h₁ of the [Δ(0),Δ(N)], the result follows. Otherwise the points which do not fall into maximal subsets S = {r, ..., s} ile r < s. Thus points in [Δ(0),Δ(N)] have a point Δ(ben) ile ben in the complement of S within a distance of h₁. But the complement of S = S₁ ∐ S₂, a disjoint union with S₁ = {0, ..., r − 1} and S₂ = {s + 1, ..., N}. Bağlantı of [Δ(0),Δ(N)] implies there is a point x in the segment which is within a distance h₁ of points Δ(ben) ve Δ (j) ile ben < r ve j > s. But then d(Δ(ben),Δ(j)) < 2 h₁, yani |ben − j| ≤ 2λh₁ + λε. Hence the points Δ(k) için k içinde S lie within a distance from [Δ(0),Δ(N)] of less than h₁ + λ|ben − j| + ε ≤ h₁ + λ (2λh₁ + λε) + ε ≡ h₂.

Extension to quasigeodesic rays and lines

Recall that in a Hadamard space if [a₁,b₁] ve [a₂,b₂] are two geodesic segments and the intermediate points c₁(t) ve c₂(t) divide them in the ratio t:(1 – t), sonra d(c₁(t),c₂(t)) is a convex function of t. In particular if Γ₁(t) and Γ₂(t) are geodesic segments of unit speed defined on [0,R] starting at the same point then

${displaystyle d(Gamma _{1}(t),Gamma _{2}(t))leq {t over R}d(Gamma _{1}(R),Gamma _{2}(R)).}$

In particular this implies the following:

• In a CAT(–1) space X, there is a constant h > 0 depending only on λ and ε such that any quasi-geodesic ray is within a bounded Hausdorff distance h of a geodesic ray. A similar result holds for quasigeodesic and geodesic lines.

If Γ(t) is a geodesic say with constant λ and ε, let Γ_N(t) be the unit speed geodesic for the segment [Γ(0),Γ(N)]. The estimate above shows that for fixed R > 0 ve N sufficiently large, (Γ_N) is a Cauchy sequence in C([0,R],X) with the uniform metric. Thus Γ_N tends to a geodesic ray γ uniformly on compacta the bound on the Hausdorff distances between Γ and the segments Γ_N applies also to the limiting geodesic γ. The assertion for quasigeodesic lines follows by taking Γ_N corresponding to the geodesic segment [Γ(–N),Γ(N)].

Efremovich–Tikhomirova theorem

Before discussing CAT(-1) spaces, this section will describe the Efremovich–Tikhomirova theorem for the unit disk D with the Poincaré metric. It asserts that quasi-isometries of D extend to quasi-Möbius homeomorphisms of the unit disk with the Euclidean metric. The theorem forms the prototype for the more general theory of CAT(-1) spaces. Their original theorem was proved in a slightly less general and less precise form in Efremovich & Tikhomirova (1964) and applied to bi-Lipschitz homeomorphisms of the unit disk for the Poincaré metric;^[27] earlier, in the posthumous paper Mori (1957), the Japanese mathematician Akira Mori had proved a related result within Teichmüller teorisi assuring that every quasiconformal homeomorphism of the disk is Hölder sürekli and therefore extends continuously to a homeomorphism of the unit circle (it is known that this extension is quasi-Möbius).^[28]

Extension of quasi-isometries to boundary

Eğer X is the Poincaré unit disk, or more generally a CAT(-1) space, the Morse lemma on stability of quasigeodesics implies that every quasi-isometry of X extends uniquely to the boundary. By definition two self-mappings f, g nın-nin X are quasi-equivalent if sup_X d(f(x),g(x)) < ∞, so that corresponding points are at a uniformly bounded distance of each other. A quasi-isometry f₁ nın-nin X is a self-mapping of X, not necessarily continuous, which has a quasi-inverse f₂ öyle ki f₁ ∘ f₂ ve f₂ ∘ f₁ are quasi-equivalent to the appropriate identity maps and such that there are constants λ ≥ 1 and ε > 0 such that for all x, y içinde X and both mappings

${displaystyle lambda ^{-1}d(x,y)-varepsilon leq d(f_{k}(x),f_{k}(y))leq lambda d(x,y)+varepsilon .}$

Note that quasi-inverses are unique up to quasi-equivalence; that equivalent definition could be given using possibly different right and left-quasi inverses, but they would necessarily be quasi-equivalent; that quasi-isometries are closed under composition which up to quasi-equivalence depends only the quasi-equivalence classes; and that, modulo quasi-equivalence, the quasi-isometries form a group.^[29]

Fixing a point x içinde X, given a geodesic ray γ starting at x, the image f ∘ γ under a quasi-isometry f is a quasi-geodesic ray. By the Morse-Mostow lemma it is within a bounded distance of a unique geodesic ray δ starting at x. This defines a mapping ∂f on the boundary ∂X nın-nin X, independent of the quasi-equivalence class of f, such that ∂(f ∘ g) = ∂f ∘ ∂g. Thus there is a homomorphism of the group of quasi-isometries into the group of self-mappings of ∂X.

To check that ∂f is continuous, note that if γ₁ ve γ₂ are geodesic rays that are uniformly close on [0,R], within a distance η, then f ∘ γ₁ ve f ∘ γ₂ lie within a distance λη + ε on [0,R], so that δ₁ ve δ₂ lie within a distance λη + ε + 2h(λ,ε); hence on a smaller interval [0,r], δ₁ ve δ₂ lie within a distance (r/R)⋅[λη + ε + 2h(λ,ε)] by convexity.^[30]

On CAT(-1) spaces, a finer version of continuity asserts that ∂f is a quasi-Möbius mapping with respect to a natural class of metric on ∂X, the "visual metrics" generalising the Euclidean metric on the unit circle and its transforms under the Möbius group. These visual metrics can be defined in terms of Busemann functions.^[31]

In the case of the unit disk, Teichmüller theory implies that the homomorphism carries quasiconformal homeomorphisms of the disk onto the group of quasi-Möbius homeomorphisms of the circle (using for example the Ahlfors–Beurling or Douady–Earle extension ): it follows that the homomorphism from the quasi-isometry group into the quasi-Möbius group is surjective.

In the other direction, it is straightforward to prove that the homomorphism is injective.^[32] Farz et ki f is a quasi-isometry of the unit disk such that ∂f is the identity. The assumption and the Morse lemma implies that if γ(R) is a geodesic line, then f(γ(R)) lies in an h-neighbourhood of γ(R). Now take a second geodesic line δ such that δ and γ intersect orthogonally at a given point in a. Sonra f(a) lies in the intersection of h-neighbourhoods of δ and γ. Applying a Möbius transformation, it can be assumed that a is at the origin of the unit disk and the geodesics are the real and imaginary axes. By convexity, the h-neighbourhoods of these axes intersect in a 3h-neighbourhood of the origin: if z lies in both neighbourhoods, let x ve y be the orthogonal projections of z üzerine x- ve y- eksenler; sonra d(z,x) ≤ h so taking projections onto the yeksen, d(0,y) ≤ h; dolayısıyla d(z,0) ≤ d(z,y) + d(y,0) ≤ 2h. Bu nedenle d(a,f(a)) ≤ 2h, Böylece f is quasi-equivalent to the identity, as claimed.

Cross ratio and distance between non-intersecting geodesic lines

Given two distinct points z, w on the unit circle or real axis there is a unique hyperbolic geodesic [z,w] joining them. It is given by the circle (or straight line) which cuts the unit circle unit circle or real axis orthogonally at those two points. Given four distinct points a, b, c, d in the extended complex plane their çapraz oran tarafından tanımlanır

${displaystyle (a,b;c,d)={(a-c)(b-d) over (a-d)(b-c)}.}$

Eğer g karmaşık Möbius dönüşümü then it leaves the cross ratio invariant: (g(a),g(b);g(c),g(d)) = (a,b:c,d). Since the Möbius group acts simply transitively on triples of points, the cross ratio can alternatively be described as the complex number z içinde C{0,1} such that g(a) = 0, g(b) = 1, g(c) = λ, g(d) = ∞ for a Möbius transformation g.

Dan beri a, b, c ve d all appear in the numerator defining the cross ratio, to understand the behaviour of the cross ratio under permutations of a, b, c ve d, it suffices to consider permutations that fix d, so only permute a, b ve c. The cross ratio transforms according to the harmonik olmayan grup of order 6 generated by the Möbius transformations sending λ to 1 – λ and λ⁻¹. The other three transformations send λ to 1 – λ⁻¹, to λ(λ – 1)⁻¹ and to (1 – λ)⁻¹.^[33]

Şimdi izin ver a, b, c, d be points on the unit circle or real axis in that order. Then the geodesics [a,b] ve [c,d] do not intersect and the distance between these geodesics is well defined: there is a unique geodesic line cutting these two geodesics orthogonally and the distance is given by the length of the geodesic segment between them. It is evidently invariant under real Möbius transformations. To compare the cross ratio and the distance between geodesics, Möbius invariance allows the calculation to be reduced to a symmetric configuration. 0 için < r < Ral a = –R, b = −r, c = r, d = R. Sonraλ = (a,b;c,d) = (R + r)²/4rR = (t + 1)²/4t nerede t = R/r > 1. On the other hand, the geodesics [a,d] ve [b,c] are the semicircles in the upper half plane of radius r ve R. The geodesic which cuts them orthogonally is the positive imaginary axis, so the distance between them is the hyperbolic distance between ir ve iR, d(ir,iR) = log R/r = günlük t. İzin Vermek s = günlük t, then λ = cosh²(s/2), so that there is a constant C > 0 such that, if (a,b;c,d) > 1, then

${displaystyle d([a,d];[b,c])-Cleq log(a,b;c,d)leq d([a,d];[b,c])+C,}$

since log[cosh(x)/expx)] = log (1 + exp(–2x))/2 is bounded above and below in x ≥ 0. Note that a, b,c, d are in order around the unit circle if and only if (a,b;c,d) > 1.

A more general and precise geometric interpretation of the cross ratio can be given using projections of ideal points on to a geodesic line; it does not depend on the order of the points on the circle and therefore whether or not geodesic lines intersect.^[34]

• If p and q are the feet of the perpendiculars from c and d to the geodesic line ab, then d(p,q) = |log |(a,b;c,d)||.

Since both sides are invariant under Möbius transformations, it suffices to check this in the case that a = 0, b = ∞, c = x ve d = 1. In this case the geodesic line is the positive imaginary axis, right hand side equals |log |x||, p = |x|ben ve q = ben. So the left hand side equals |log|x||. Bunu not et p ve q are also the points where the incircles of the ideal triangles ABC ve abd dokunma ab.

Teoremin kanıtı

A homeomorphism F of the circle is yarı simetrik if there are constants a, b > 0 öyle ki

${displaystyle displaystyle {{|F(z_{1})-F(z_{2})| over |F(z_{1})-F(z_{3})|}leq a{|z_{1}-z_{2}|^{b} over |z_{1}-z_{3}|^{b}}.}}$

Bu quasi-Möbius is there are constants c, d > 0 öyle ki

${ displaystyle displaystyle {| (F (z_ {1}), F (z_ {2}); F (z_ {3}), F (z_ {4})) | leq c | (z_ {1} , z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) | ^ {d},}}$

nerede

${ displaystyle displaystyle {(z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {(z_ {1} -z_ {3}) (z_ {2} -z_ {4} ) over (z_ {2} -z_ {3}) (z_ {1} -z_ {4})}}}$

gösterir çapraz oran.

Ters simetrik ve yarı-Möbius homeomorfizmlerinin, inversiyon ve kompozisyon işlemleri altında kapanması hemen ortaya çıkar.

Eğer F yarı simetriktir, sonra aynı zamanda yarı-Möbius'dur. c = a² ve d = b: bu, ilk eşitsizliği çarparak takip eder (z₁,z₃,z₄) ve (z₂,z₄,z₃). Tersine herhangi bir yarı-Möbius homeomorfizmi F yarı simetriktir. Bunu görmek için önce kontrol edilebilir F (ve dolayısıyla F⁻¹) dır-dir Hölder sürekli. İzin Vermek S birliğin küp kökleri kümesi olun, böylece a ≠ b içinde S, sonra |a − b| = 2 günah π/3 = √3. Bir Hölder tahminini kanıtlamak için şu varsayılabilir: x – y tekdüze olarak küçüktür. Sonra ikisi de x ve y sabit bir mesafeden daha uzak a, b içinde S ile a ≠ b, dolayısıyla tahmin yarı-Möbius eşitsizliğini x, a, y, b. Bunu doğrulamak için F yarı simetriktir, için tek tip bir üst sınır bulmak yeterlidir |F(x) − F(y)| / |F(x) − F(z) | ile üçlü olması durumunda |x − z| = |x − y|, eşit derecede küçük. Bu durumda bir nokta var w 1'den daha uzak bir mesafede x, y ve z. Yarı-Möbius eşitsizliğini uygulamak x, w, y ve z gerekli üst sınırı verir. Özetle:

• Çemberin bir homeomorfizmi yarı-Möbius'tur ancak ve ancak yarı simetrikse. Bu durumda o ve tersi Hölder süreklidir. Yarı-Möbius homeomorfizmleri, kompozisyon altında bir grup oluşturur.^[35]

Teoremi kanıtlamak için kanıtlamak yeterlidir: F = ∂f sonra sabitler var Bir, B > 0 öyle ki a, b, c, d birim çember üzerindeki farklı noktalar^[36]

${ displaystyle displaystyle {| (F (a), F (b); F (c), F (d)) | leq A | (a, b; c, d) | ^ {B}.}}$

Zaten kontrol edildi F (ve tersi) süreklidir. Beste yapmak f, ve dolayısıyla F, gerekirse karmaşık konjugasyon ile, ayrıca varsayılabilir F dairenin yönünü korur. Bu durumda, eğer a,b, c,d çemberde sırayla, altında da resimler var F; dolayısıyla ikisi de (a,b;c,d) ve (F(a),F(b);F(c),F(d)) gerçektir ve birden büyüktür. Bu durumda

${ displaystyle (F (a), F (b); F (c), F (d)) leq A (a, b; c, d) ^ {B}.}$

Bunu kanıtlamak için bunu göstermek yeterlidir. günlük (F(a),F(b);F(c),F(d)) ≤ B günlük (a,b;c,d) + C. Önceki bölümden göstermek yeterli d([F(a),F(b)],[F(c),F(d)]) ≤ P d([a,b],[c,d]) + Q. Bu, altındaki görüntülerin f nın-nin [a,b] ve [c,d] içinde yatmak h-ki mahalleler [F(a),F(b)] ve [F(c),F(d)]; minimum mesafe yarı izometri sabitleri kullanılarak tahmin edilebilir. f [üzerindeki noktalara uygulandıa,b] ve [c,d] farkına varmak d([a,b],[c,d]).

Ayarlama Bir ve B gerekirse yukarıdaki eşitsizlik için de geçerlidir F⁻¹. Değiştiriliyor a, b, c ve d altındaki görüntüleri ile Fbunu takip eder

${ Displaystyle A ^ {- 1} | (a, b; c, d) | ^ {- B} leq | (F (a), F (b); F (c), F (d)) | leq A | (a, b; c, d) | ^ {B}}$

Eğer a, b, c ve d birim çemberde sıralanmıştır. Dolayısıyla, aynı eşitsizlikler, dörtlünün üç döngüsü için de geçerlidir. a, b, c, d. Eğer a ve b değiştirilir ve ardından çapraz oranlar tersine gönderilir, bu nedenle 0 ile 1 arasında yatın; benzer şekilde eğer c ve d değiştirildi. Her iki çift de değiştirilirse, çapraz oran değişmeden kalır. Dolayısıyla eşitsizlikler bu durumda da geçerlidir. Sonunda eğer b ve c değiştirilirse, çapraz oran λ'dan λ^–1(λ - 1) = 1 - λ^–10 ile 1 arasındadır. Dolayısıyla yine aynı eşitsizlikler geçerlidir. Bu dönüşümleri kullanarak eşitsizliklerin tüm olası permütasyonlar için geçerli olduğunu kontrol etmek kolaydır. a, b, c ve d, Böylece F ve tersi, yarı-Möbius homeomorfizmleridir.

CAT (-1) boşlukları için Busemann işlevleri ve görsel metrikler

Busemann fonksiyonları, CAT (-1) uzayları sınıfında özel görsel ölçütleri belirlemek için kullanılabilir. Bunlar, jeodezik üçgenin sınırındaki noktalar arasındaki mesafelerin hiperbolik üst yarı düzlemdeki karşılaştırma üçgeninden daha az veya ona eşit olduğu veya Poincaré metriğine sahip birim diskle eşdeğer olduğu tam jeodezik metrik uzaylardır. Birim disk durumunda, kordal metrik doğrudan Busemann fonksiyonları kullanılarak kurtarılabilir B_γ ve disk için özel teori tamamen herhangi bir uygun CAT (-1) alanına genelleştirir X. Hiperbolik bir jeodezik üçgendeki uzunluklar Öklid karşılaştırma üçgenindeki uzunluklardan daha az olduğu için hiperbolik üst yarı düzlem bir CAT (0) alanıdır: özellikle bir CAT (-1) uzayı bir CAT (0) uzayıdır, bu nedenle teori Busemann fonksiyonları ve Gromov sınırı geçerlidir. Hiperbolik disk teorisinden, özellikle bir CAT (-1) uzayındaki her jeodezik ışının bir jeodezik çizgiye uzandığını ve sınırın iki noktası verildiğinde benzersiz bir jeodezik olduğunu izler - öyle ki bu noktalar sınır olarak γ (± ∞). Teori, κ> 0 olan herhangi bir CAT (−κ) uzayına eşit derecede uygulanır çünkü bunlar bir CAT (-1) uzayındaki metriğin κ ile ölçeklendirilmesiyle ortaya çıkar.^−1/2. Hiperbolik birim diskinde D yarı izometrileri D İşlevsel bir şekilde sınırın yarı-Möbius homeomorfizmlerini indükler. Gromov hiperbolik uzaylarının daha genel bir teorisi var, benzer bir ifade geçerli, ancak sınırın homeomorfizmleri üzerinde daha az kesin bir kontrole sahip.^[14][15]

Örnek: Poincaré disk

Süzülme teorisindeki uygulamalar

Daha yakın zamanlarda Busemann işlevleri, olasılıklar modellerinde asimptotik özellikleri incelemek ilk geçiş süzme^[37][38] ve yönlendirilmiş son geçiş süzülme.^[39]

Notlar

Referanslar

• Ahlfors, Lars V. (1966), Yarı konformal haritalamalar üzerine dersler, Van Nostrand
• Ballmann, Werner; Gromov, Mikhael; Schroeder, Viktor (1985), Pozitif olmayan eğriliğin manifoldları, Matematikte İlerleme, 61, Birkhäuser, ISBN  0-8176-3181-X
• Ballmann, Werner (1995), Pozitif olmayan eğriliğin uzayları üzerine derslerDMV Semineri, 25, Birkhäuser, ISBN  3-7643-5242-6
• Beardon, Alan F. (1983), Ayrık Grupların Geometrisi, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90788-2
• Bourdon, Marc (1995), "Yapı conforme au bord et flot géodésique d'un CAT (−1) -espace", Enseign. Matematik. (Fransızcada), 41: 63–102
• Bourdon, Marc (2009), "Yarı-konformal geometri ve Mostow sertliği", Géométries à courbure négative ou nulle, groupes discrets and rigidités, Sémin. Tebrik, 18, Soc. Matematik. Fransa, s. 201–212
• Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999), Pozitif olmayan eğriliğin metrik uzayları, Springer
• Busemann Herbert (1955), Jeodezik geometrisi, Akademik Basın
• Buyalo, Sergei; Schroeder, Viktor (2007), Asimptotik geometrinin unsurları, Matematikte EMS Monografları, Avrupa Matematik Derneği, ISBN  978-3-03719-036-4
• Dal'bo, Françoise; Peigné, Marc; Sambusetti, Andrea (2012), "Negatif eğimli manifoldların yatay sınırı ve ışınlarının geometrisi hakkında" (PDF), Pacific J. Math., 259: 55–100, arXiv:1010.6028, doi:10.2140 / pjm.2012.259.55, Ek.
• Damron, Michael; Hanson, Jack (2014), "Busemann fonksiyonları ve iki boyutlu birinci geçiş süzülmesinde sonsuz jeodezikler", Comm. Matematik. Phys., 325 (3): 917–963, arXiv:1209.3036, Bibcode:2014CMaPh.325..917D, doi:10.1007 / s00220-013-1875-y, S2CID  119589291
• Eberlein, P .; O'Neill, B. (1973), "Görünürlük manifoldları", Pacific J. Math., 46: 45–109, doi:10.2140 / pjm.1973.46.45
• Efremovich, V.A.; Tikhomirova, E.S. (1964), "Hiperbolik uzayların ekimorfizmleri", Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (Rusça), 28: 1139–1144
• Georgiou, Nicos; Rassoul-Ağa, Firas; Seppäläinen, Timo (2016), "Yönlendirilmiş polimer ve süzülme modelleri için varyasyonel formüller ve birlikte döngü çözümleri", Comm. Matematik. Phys., 346 (2): 741–779, arXiv:1311.3016, Bibcode:2016CMaPh.346..741G, doi:10.1007 / s00220-016-2613-z, S2CID  5887311
• Hoffman, Christopher (2005), "Richardson tipi rekabet eden uzamsal büyüme modelleri için bir arada varoluş", Ann. Appl. Probab., 15: 739–747, arXiv:matematik / 0405377, doi:10.1214/105051604000000729, S2CID  15113728
• Kapovich Michael (2001), Hiperbolik manifoldlar ve ayrık gruplar, Matematikte İlerleme, 183, Birkhäuser, ISBN  0-8176-3904-7
• Lehto, Olli (1987), Tek değerli fonksiyonlar ve Teichmüller uzayları, Matematik Yüksek Lisans Metinleri, 109, Springer-Verlag, ISBN  0-387-96310-3
• Lurie, J. (2010), Hadamard uzayları teorisi üzerine notlar (PDF), Harvard Üniversitesi^{[kalıcı ölü bağlantı ]}
• Mori, Akira (1957), "Yarı uygunluk ve sözde analitiklik üzerine" (PDF), Trans. Amer. Matematik. Soc., 84: 56–77, doi:10.1090 / s0002-9947-1957-0083024-5
• Morse, H. M. (1924), "Birden büyük cinsin herhangi bir kapalı yüzeyinde temel bir jeodezik sınıfı" (PDF), Trans. Amer. Matematik. Soc., 26: 25–60, doi:10.1090 / s0002-9947-1924-1501263-9
• Papadopoulos, Athanase (2014), Metrik uzaylar, dışbükeylik ve pozitif olmayan eğrilikIRMA Matematik ve Teorik Fizik Dersleri, 6 (İkinci baskı), Avrupa Matematik Derneği, ISBN  978-3-03719-132-3
• Paulin, Frédéric (1996), "Un groupe hyperbolique est déterminé par son bord", J. London Math. Soc. (Fransızcada), 54: 50–74, doi:10.1112 / jlms / 54.1.50
• Ratcliffe, John G. (2006), Hiperbolik manifoldların temelleri, Matematik Yüksek Lisans Metinleri, 149 (İkinci baskı), Springer, ISBN  978-0387-33197-3
• Karaca, John (2003), Kaba geometri üzerine dersler, Üniversite Ders Serisi, 31, Amerikan Matematik Derneği, ISBN  0-8218-3332-4
• Shiohama, Katsuhiro (1984), "Kompakt olmayan manifoldların topolojisi", Jeodezik geometrisi ve ilgili konular, Adv. Damızlık. Saf Matematik., 3, Kuzey-Hollanda, s. 423–450
• Shioya, T. (2001) [1994], "Busemann işlevi", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın
• Väisälä, Jussi (1984), "Quasi-Möbius haritaları" (PDF), J. Analyze Math., 44: 218–234, doi:10.1007 / bf02790198, S2CID  189767039