Hiperbolik metrik uzay - Hyperbolic metric space

Matematikte bir hiperbolik metrik uzay bir metrik uzay noktalar arasındaki belirli metrik ilişkileri (nicel olarak negatif olmayan bir gerçek sayıya depending bağlı olarak) sağlamak. Tanım, tanıtan Mikhael Gromov, klasik metrik özelliklerini genelleştirir hiperbolik geometri ve ağaçlar. Hiperboliklik, büyük ölçekli bir özelliktir ve belirli sonsuz sayıların incelenmesi için çok yararlıdır. grupları aradı (Gromov-)hiperbolik gruplar.

Tanımlar

Bu paragrafta çeşitli tanımları veriyoruz. ${ displaystyle delta}$ - hiperbolik boşluk. Bir metrik uzayın (Gromov-) hiperbolik olduğu söylenir. ${ displaystyle delta}$ -bazıları için hiperbolik ${ displaystyle delta> 0}$ .

Gromov ürününü kullanarak tanımlama

İzin Vermek ${ displaystyle (X, d)}$ olmak metrik uzay. Gromov ürünü iki puan $X'te { displaystyle y, z }$ üçüncü birine göre ${ displaystyle x X'te}$ aşağıdaki formülle tanımlanır:

{ displaystyle (y, z) _ {x} = { frac {1} {2}} sol (d (x, y) + d (x, z) -d (y, z) sağ). }

Gromov'un hiperbolik metrik uzay tanımı şu şekildedir: ${ displaystyle X}$ dır-dir ${ displaystyle delta}$ - hiperbolik, ancak ve ancak hepsi ${ displaystyle x, y, z, w X'te}$ tatmin etmek dört nokta koşulu

{ displaystyle (x, z) _ {w} geq min sol ((x, y) _ {w}, (y, z) _ {w} sağ) - delta}

Bu koşul herkes için sağlanmışsa $X'te { displaystyle x, y, z }$ ve bir sabit taban noktası ${ displaystyle w_ {0}}$ , o zaman herkes için bir sabit ile tatmin olur ${ displaystyle 2 delta}$ .^[1] Bu nedenle, hiperboliklik koşulunun yalnızca bir sabit taban noktası için doğrulanması gerekir; bu nedenle, temel nokta için alt simge genellikle Gromov ürününden çıkarılır.

Üçgen kullanan tanımlar

Değişene kadar ${ displaystyle delta}$ sabit bir kat ile, metrik uzay olduğunda üçgenleri içeren eşdeğer bir geometrik tanım vardır. ${ displaystyle X}$ dır-dir jeodezikyani herhangi iki nokta ${ displaystyle x, y X'te}$ jeodezik bir segmentin uç noktalarıdır ${ displaystyle [x, y]}$ (kompakt bir alt aralığın izometrik bir görüntüsü ${ displaystyle [a, b]}$ gerçeklerin). ^[2]^[3] ^[4] Gromov ürünleri aracılığıyla tanımlamanın, alanın jeodezik olmasını gerektirmediğini unutmayın.

İzin Vermek $X'te { displaystyle x, y, z }$ . Köşeleri olan bir jeodezik üçgen ${ displaystyle x, y, z}$ üç jeodezik segmentin birleşimidir ${ displaystyle [x, y], [y, z], [z, x]}$ (nerede ${ displaystyle [p, q]}$ uç noktaları olan bir segmenti belirtir ${ displaystyle p}$ ve ${ displaystyle q}$ ).

{ displaystyle x}

{ displaystyle y}

{ displaystyle z}

{ displaystyle B _ { delta} ([x, y])}

{ displaystyle B _ { delta} ([z, x])}

{ displaystyle B _ { delta} ([y, z])}

Δ-ince üçgen durumu

Eğer herhangi bir nokta için $[x, y]} içinde { displaystyle m$ bir nokta var ${ displaystyle [y, z] cup [z, x]}$ daha az mesafede ${ displaystyle delta}$ nın-nin ${ displaystyle m}$ ve benzer şekilde diğer kenarlardaki noktalar için ve ${ displaystyle delta geq 0}$ o zaman üçgenin olduğu söylenir ${ displaystyle delta}$ -ince .

Bir tanımı ${ displaystyle delta}$ - hiperbolik uzay daha sonra jeodezik üçgenlerinin tümü olan bir jeodezik metrik uzaydır. ${ displaystyle delta}$ -ince. Bu tanım genellikle Eliyahu Rips.

A kavramı kullanılarak başka bir tanım verilebilir. ${ displaystyle C}$ - bir jeodezik üçgenin yaklaşık merkezi: bu, en çok uzakta olan bir noktadır ${ displaystyle C}$ üçgenin herhangi bir kenarının ("yaklaşık" bir versiyonu) merkezinde ). Bir boşluk ${ displaystyle delta}$ -her jeodezik üçgenin bir ${ displaystyle delta}$ -merkez.

A'nın bu iki tanımı ${ displaystyle delta}$ Jeodezik üçgenlerin kullanıldığı hiperbolik uzay tam olarak eşdeğer değildir, ancak ${ displaystyle k> 1}$ öyle ki bir ${ displaystyle delta}$ -İlk anlamda hiperbolik boşluk ${ displaystyle k cdot delta}$ - ikincide hiperbolik ve tersi.^[5] Dolayısıyla hiperbolik uzay kavramı, seçilen tanımdan bağımsızdır.

Örnekler

hiperbolik düzlem hiperboliktir: aslında incircle Bir jeodezik üçgenin çapı, üçgenin içerdiği en büyük çaplı çemberdir ve her jeodezik üçgen ideal bir üçgenin iç kısmında yer alır ve bunların tümü 2 log 3 çaplı çemberlerle izometriktir.^[6] Bu durumda Gromov ürününün, jeodezik üçgenin çemberi açısından da basit bir yorumu olduğunu unutmayın. Aslında miktar $(Bir, B) C$ sadece hiperbolik mesafe $p$ itibaren $C$ çemberin bitişik kenarlarla temas noktalarından birine: diyagramdan $c = (a - p) + (b - p)$ , Böylece $p = (a + b - c)/2 = (Bir, B) C$ .^[7]

Öklid düzlemi hiperbolik değildir, örneğin homotezler.

Hiperbolik uzayların iki "dejenere" örneği, sınırlı çaplı boşluklar (örneğin, sonlu veya kompakt uzaylar) ve gerçek çizgidir.

Metrik ağaçlar ve daha genel olarak gerçek ağaçlar 0-hiperbolik oldukları için hiperbolik uzayların en basit ilginç örnekleridir (yani tüm üçgenler tripodlardır).

Öklid eşkenar üçgenlerinin üçgenlemesinin 1 iskeleti hiperbolik değildir (aslında Öklid düzlemine yarı izometriktir). Düzlemin nirengi ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ her tepe noktası 7 veya daha fazla dereceye sahipse hiperbolik 1 iskelete sahiptir.

İki boyutlu ızgara hiperbolik değildir (Öklid düzlemine yarı izometriktir). O Cayley grafiği of temel grup of simit; Daha yüksek cins bir yüzeyin temel gruplarının Cayley grafikleri hiperboliktir (aslında hiperbolik düzleme yarı izometriktir).

Hiperboliklik ve eğrilik

Hiperbolik düzlem (ve daha genel olarak herhangi Hadamard manifoldları nın-nin kesit eğriliği ${ displaystyle leq -1}$ ) dır-dir ${ displaystyle 2}$ hiperbolik. Riemann metriğini bir faktörle ölçeklendirirsek ${ displaystyle lambda> 0}$ sonra mesafeler ile çarpılır ${ displaystyle lambda}$ ve böylece bir alan elde ederiz ${ displaystyle lambda cdot delta}$ hiperbolik. Eğrilik ile çarpıldığı için ${ displaystyle lambda ^ {- 1}}$ Bu örnekte, "uzay ne kadar (negatif) eğimli olursa, o kadar hiperbolik olur (hiperboliklik sabiti ile ölçülür) ${ displaystyle delta}$ )".

Benzer örnekler CAT alanları negatif eğrilik. Eğrilik ve hiperboliklik ile ilgili olarak, eğrilik esasen yerel bir özellik iken, hiperbolikliğin, yerel (yani sınırlı bir bölgede meydana gelen) metrik fenomeni görmeyen büyük ölçekli bir özellik olduğu belirtilmelidir. Örneğin, bir hiperbolik uzay ile kompakt bir uzay ile orijinal ölçüleri genişleten herhangi bir metrik birleşimi hiperbolik kalır.

Önemli özellikler

Yarı izometri altında değişmezlik

"Büyük ölçekli" nin anlamını kesinleştirmenin bir yolu, altında değişmezlik gerektirmektir. yarı izometri. Bu hiperboliklik için doğrudur.

Jeodezik bir metrik uzay ${ displaystyle Y}$ yarı izometrik ${ displaystyle delta}$ - hiperbolik boşluk ${ displaystyle X}$ o zaman var ${ displaystyle delta '}$ öyle ki ${ displaystyle Y}$ dır-dir ${ displaystyle delta '}$ hiperbolik.

Sabit ${ displaystyle delta '}$ bağlıdır ${ displaystyle delta}$ ve yarı-izometri için çarpımsal ve toplamsal sabitler.^[8]

Hiperbolik boşluklardaki yaklaşık ağaçlar

Gromov çarpımı açısından bir hiperbolik uzayın tanımı, herhangi bir dört nokta arasındaki metrik ilişkilerin, toplamsal sabite kadar, bir ağaçtaki ile aynı olduğunu söyleyerek görülebilir. ${ displaystyle delta}$ . Daha genel olarak aşağıdaki özellik, bir hiperbolik uzayın herhangi bir sonlu alt kümesinin sonlu bir ağaç gibi göründüğünü gösterir.

Herhangi ${ displaystyle n, delta}$ sabit var ${ displaystyle C}$ öyle ki aşağıdakiler geçerlidir: if ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ bir ${ displaystyle delta}$ - hiperbolik boşluk ${ displaystyle X}$ sonlu bir ağaç var ${ displaystyle T}$ ve bir yerleştirme ${ displaystyle f: T ila X}$ öyle ki ${ displaystyle x_ {i} f (T)}$ hepsi için ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$ ve

{ displaystyle forall i, j: d (f ^ {- 1} (x_ {i}), f ^ {- 1} (x_ {j})) leq d (x_ {i}, x_ {j} ) leq d (f ^ {- 1} (x_ {i}), f ^ {- 1} (x_ {j})) + C}

Sabit ${ displaystyle C}$ olarak alınabilir ${ displaystyle delta cdot h (n)}$ ile ${ displaystyle h (n) = O ( log n)}$ ve bu optimaldir.^[9]

Uzaklık ve izoperimetrik eşitsizliklerin üstel büyümesi

Hiperbolik bir alanda ${ displaystyle X}$ aşağıdaki özelliğe sahibiz:^[10]

Var ${ displaystyle mu, K> 0}$ öyle ki herkes için $X'te { displaystyle p, x, y }$ ile ${ displaystyle d (p, x) = d (p, y) =: r}$ her yol ${ displaystyle alpha}$ birleştirme ${ displaystyle x}$ -e ${ displaystyle y}$ ve en azından uzakta kalmak ${ displaystyle r}$ nın-nin ${ displaystyle p}$ en az uzunlukta ${ displaystyle e ^ { mu cdot d (x, y)} - K}$ .

Gayri resmi olarak bu, yarıçaplı bir "çemberin" çevresinin ${ displaystyle r}$ katlanarak büyür ${ displaystyle r}$ . Bu anımsatıyor Öklid düzleminde izoperimetrik problem. İşte bu etkiye dair daha spesifik bir ifade.^[11]

Farz et ki ${ displaystyle X}$ bir hücre kompleksi 2. boyutun 1 iskeleti hiperbolik olacak şekilde ve ${ displaystyle C}$ öyle ki herhangi bir 2 hücrenin sınırı en fazla ${ displaystyle C}$ 1 hücreli. Sonra bir sabit var ${ displaystyle lambda> 0}$ öyle ki herhangi bir sonlu alt kompleks için ${ displaystyle Y alt küme X}$ sahibiz

{ displaystyle operatorname {alan} (Y) leq lambda cdot operatorname {uzunluk ( kısmi Y)}}

Burada bir 2-kompleksin alanı 2-hücre sayısıdır ve bir 1-kompleksin uzunluğu, 1-hücre sayısıdır. Yukarıdaki ifade doğrusaldır izoperimetrik eşitsizlik ; Böyle bir izoperimetrik eşitsizliğe sahip olmanın Gromov-hiperbolik uzaylarını karakterize ettiği ortaya çıktı.^[12] Doğrusal izoperimetrik eşitsizlikler, küçük iptal Koşullar kombinatoryal grup teorisi.

Quasiconvex alt uzayları

Bir alt uzay ${ displaystyle Y}$ jeodezik metrik uzay ${ displaystyle X}$ sabit ise yarı konveks olduğu söylenir ${ displaystyle C}$ öyle ki herhangi bir jeodezik ${ displaystyle x}$ iki nokta arasında ${ displaystyle Y}$ mesafe içinde kalır ${ displaystyle C}$ nın-nin ${ displaystyle Y}$ .

Hiperbolik bir uzayın yarı-dışbükey bir alt uzayı hiperboliktir.

Asimptotik koniler

Herşey asimptotik koniler hiperbolik bir alanın gerçek ağaçlar. Bu özellik hiperbolik boşlukları karakterize eder.^[13]

Hiperbolik bir alanın sınırı

Yapının genelleştirilmesi biter Basit bir ağacın hiperbolik uzayları için sonsuzda doğal bir sınır kavramı vardır, bu da grup eylemlerini analiz etmek için çok yararlı olduğu kanıtlanmıştır.

Bu paragrafta ${ displaystyle X}$ hiperbolik bir jeodezik metrik uzaydır.

Gromov ürününü kullanarak tanımlama

Bir dizi ${ displaystyle (x_ {n}) içinde X ^ { mathbb {N}}}$ söylendi sonsuza yakınsamak eğer bazı (veya herhangi bir) nokta için ${ displaystyle p}$ bizde var ${ displaystyle (x_ {n}, x_ {m}) _ {p} rightarrow infty}$ her ikisi de ${ displaystyle n}$ ve ${ displaystyle m}$ sonsuzluğa git. İki dizi ${ displaystyle (x_ {n}), (y_ {n})}$ sonsuza yakınsamak eşdeğer kabul edilir ${ displaystyle lim _ {n ila + infty} (x_ {n}, y_ {n}) _ {p} = + infty}$ (bazıları veya herhangi biri için ${ displaystyle p}$ ). sınır nın-nin ${ displaystyle X}$ sonsuza yakınsayan dizilerin denklik sınıfları kümesidir,^[14] hangi belirtilen ${ displaystyle kısmi X}$ .

Eğer ${ displaystyle xi, eta}$ sınırda iki nokta varsa, Gromov ürünü şöyle tanımlanır:

{ displaystyle ( xi, eta) = sup _ {(x_ {n}) = xi, (y_ {n}) = eta} sol ( liminf _ {n, m ila + infty } (x_ {n}, y_ {m}) _ {p} sağ)}

sonlu olan ve bağlı olmayan $X'te { displaystyle p }$ . Daha sonra bir topoloji tanımlanabilir ${ displaystyle kısmi X}$ fonksiyonları kullanmak ${ displaystyle ( cdot, xi)}$ .^[15] Bu topoloji ${ displaystyle kısmi X}$ ölçülebilirdir ve Gromov ürünü kullanılarak tanımlanan seçkin bir metrik ailesi vardır.^[16]

Işınları kullanarak uygun alanların tanımı

İzin Vermek ${ displaystyle alpha, beta}$ iki olmak yarı izometrik düğünler nın-nin ${ displaystyle [0, + infty [}$ içine ${ displaystyle X}$ ("jeodezik ışınlar"). Eşdeğer olarak kabul edilirler ancak ve ancak işlev ${ displaystyle t mapsto d ( alpha (t), beta (t))}$ sınırlıdır ${ displaystyle [0, + infty [}$ . Boşluk ${ displaystyle X}$ bu durumda uygundur, bu durumda doğal topolojisiyle modülo eşdeğeri tüm bu tür düğünler için homeomorfiktir. ${ displaystyle kısmi X}$ yukarıda tanımlandığı gibi.^[17]

Benzer bir gerçekleşme, bir temel noktayı tespit etmek ve yalnızca bu noktadan kaynaklanan yarı-jeodezik ışınları dikkate almaktır. Durumunda ${ displaystyle X}$ jeodeziktir ve uygun olanı gerçek jeodezik ışınlarla da sınırlanabilir.

Örnekler

Ne zaman ${ displaystyle X = T}$ basit bir düzenli ağaçtır, sınır sadece bir Cantor kümesi olan uçların alanıdır. Bir noktayı düzeltmek ${ displaystyle x T'de}$ doğal bir mesafe verir ${ displaystyle kısmi T}$ : ışınlarla temsil edilen iki nokta ${ displaystyle alpha, beta}$ menşeli ${ displaystyle x}$ uzakta ${ displaystyle exp (- operatöradı {Uzunluk} ( alpha cap beta))}$ .

Ne zaman ${ displaystyle X}$ birim disktir, yani Poincaré disk modeli hiperbolik düzlem için diskteki hiperbolik metrik

{ displaystyle ds ^ {2} = {4 | dz | ^ {2} fazla (1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}

ve Gromov sınırı birim çember ile tanımlanabilir.

Sınırı ${ displaystyle n}$ boyutsal hiperbolik uzay, evomorfiktir. ${ displaystyle n-1}$ boyutlu küre ve metrikler yukarıdakine benzer.

Busemann fonksiyonları

Eğer ${ displaystyle X}$ uygunsa, o zaman sınırı, boşluğa homeomorfiktir. Busemann fonksiyonları açık ${ displaystyle X}$ modulo çevirileri.^[18]

İzometrilerin sınır üzerindeki etkisi ve sınıflandırılması

İki hiperbolik boşluk arasında bir yarı-izometri ${ displaystyle X, Y}$ sınırlar arasında bir homeomorfizmi tetikler.

Özellikle izometri grubu ${ displaystyle X}$ homeomorfizmler tarafından hareket eder ${ displaystyle kısmi X}$ . Bu eylem kullanılabilir^[19] izometrileri sınırdaki dinamik davranışlarına göre sınıflandırmak, ağaçlar ve klasik hiperbolik uzaylar için genelleştirmek. İzin Vermek ${ displaystyle g}$ izometrisi olmak ${ displaystyle X}$ , ardından aşağıdaki durumlardan biri gerçekleşir:

İlk durum: ${ displaystyle g}$ sınırlı bir yörüngeye sahip ${ displaystyle X}$ (durumunda ${ displaystyle X}$ bu doğrudur, bunun anlamı ${ displaystyle g}$ sabit bir noktası var ${ displaystyle X}$ ). O zaman buna bir eliptik izometri.
İkinci durum: ${ displaystyle g}$ tam olarak iki sabit noktaya sahiptir ${ displaystyle xi _ {+}, xi _ {-}}$ açık ${ displaystyle kısmi X}$ ve her pozitif yörünge ${ displaystyle {g ^ {n} xi: n geq 0 }, xi not = xi _ {-}}$ sadece birikir ${ displaystyle xi _ {+}}$ . Sonra ${ displaystyle g}$ denir hiperbolik izometri.
Üçüncü durum: ${ displaystyle g}$ sınırda tam olarak bir sabit noktaya sahiptir ve tüm yörüngeler bu noktada birikir. O zaman a denir parabolik izometri.

Daha fazla örnek

Teorisinin alt kümeleri hiperbolik gruplar daha fazla hiperbolik boşluk örneği vermek için kullanılabilir, örneğin Cayley grafiği bir küçük iptal grubu. Ayrıca bazı modellerin Cayley grafiklerinin de rastgele gruplar (aslında rastgele oluşturulmuş sonsuz düzenli bir grafiktir) çok sık hiperbolik olma eğilimindedir.

Belirli alanların hiperbolik olduğunu kanıtlamak zor ve ilginç olabilir. Örneğin, aşağıdaki hiperboliklik sonuçları, üzerlerinde hareket eden gruplar için yeni fenomenlerin keşfedilmesine yol açmıştır.

Hiperbolikliği eğri kompleksi^[20] eşleme sınıfı grubunda yeni sonuçlara yol açtı.^[21]
Benzer şekilde, belirli grafiklerin hiperbolikliği^[22] dış otomorfizm grubuyla ilişkili Çıkış (Fn) bu grupta yeni sonuçlara yol açtı.

Ayrıca bakınız

Notlar

^ Coornaert, Delzant ve Papadopoulos 1990, s. 2–3
^ de la Harpe ve Ghys 1990, Bölüm 2, Önerme 21.
^ Bridson ve Haefliger 1999 Bölüm III.H, Önerme 1.22.
^ Coorneart, Delzant ve Papadopoulos, s. 6–8.
^ Bridson ve Haefliger 1999 Bölüm III.H, Önerme 1.17.
^ Coornaert, Delzant ve Papadopoulos 1990, s. 11–12
^ Coornaert, Delzant ve Papadopoulos 1990, s. 1-2 sn
^ de la Harpe ve Ghys 1990, Bölüm 5, Önerme 15.
^ Bowditch 2006, Bölüm 6.4.
^ Bridson ve Haefliger 1999 Bölüm III.H, Önerme 1.25.
^ daha genel bir ifade verilmiştir Bridson ve Haefliger (1999 Bölüm III.H, Önerme 2.7)
^ Bridson ve Haefliger 1999, Bölüm III.H, Teorem 2.9.
^ Dyubina (Erschler), Anna; Polterovich, Iosif (2001). "Evrenselin açık yapıları R-Ağaçlar ve hiperbolik uzayların asimptotik geometrisi ". Boğa. London Math. Soc. 33. s. 727–734. BAY 1853785.
^ de la Harpe ve Ghys 1990, Chapitre 7, sayfa 120.
^ de la Harpe ve Ghys 1990, Chapitre 7, bölüm 2.
^ de la Harpe ve Ghys 1990, Chapitre 7, bölüm 3.
^ de la Harpe ve Ghys 1990, Bölüm 7, Önerme 4.
^ Bridson ve Haefliger 1999, s. 428.
^ de la Harpe ve Ghys 1990, Chapitre 8.
^ Masur, Howard A .; Minsky, Yair N. (1999). "Eğriler kompleksinin geometrisi. I. Hiperboliklik". İcat etmek. Matematik. 138. s. 103–149. BAY 1714338.
^ Dahmani, François; Guirardel, Vincent; Osin, Denis. "Hiperbolik olarak gömülü alt gruplar ve hiperbolik boşluklar üzerinde hareket eden gruplar halinde dönen aileler".
^ Bestvina, Mladen; Feighn Mark (2014). "Serbest faktörler kompleksinin hiperbolikliği". Adv. Matematik. 256. sayfa 104–155. BAY 3177291.

Referanslar

Bowditch Brian (2006), Geometrik grup teorisi üzerine bir ders (PDF), Mat. soc. Japonya
Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999), Pozitif olmayan eğriliğin metrik uzayları, Springer
Coornaert, M .; Delzant, T .; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov, Matematik Ders Notları (Fransızca), 1441, Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
de la Harpe, Pierre; Ghys, Etienne (1990), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Fransızca), Birkhäuser
Gromov, Mikhael (1987), "Hiperbolik gruplar", Gersten, S.M. (ed.), Grup teorisinde denemeler, Springer, s. 75–264
Karaca, John (2003), Kaba Geometri Üzerine Dersler, Üniversite Ders Serisi, 31, Amerikan Matematik Derneği, ISBN 978-0-8218-3332-2
Väisälä, Jussi (2005), "Gromov hiperbolik uzayları" (PDF), Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187–231, doi:10.1016 / j.exmath.2005.01.010, BAY 2164775.

[1] Coornaert, Delzant ve Papadopoulos 1990, s. 2–3

[FOOTNOTEde_la_HarpeGhys1990Chapitre_2,_Proposition_21-2] Harpe ve Ghys 1990, Bölüm 2, Önerme 21.

[FOOTNOTEBridsonHaefliger1999Chapter_III.H,_Proposition_1.22-3] Bridson ve Haefliger 1999 Bölüm III.H, Önerme 1.22.

[FOOTNOTECoorneartDelzantPapadopoulos6–8-4] Coorneart, Delzant ve Papadopoulos, s. 6–8.

[FOOTNOTEBridsonHaefliger1999Chapter_III.H,_Proposition_1.17-5] Bridson ve Haefliger 1999 Bölüm III.H, Önerme 1.17.

[6] Coornaert, Delzant ve Papadopoulos 1990, s. 11–12

[7] Coornaert, Delzant ve Papadopoulos 1990, s. 1-2 sn

[FOOTNOTEde_la_HarpeGhys1990Chapitre_5,_Proposition_15-8] Harpe ve Ghys 1990, Bölüm 5, Önerme 15.

[FOOTNOTEBowditch2006Chapter_6.4-9] Bowditch 2006, Bölüm 6.4.

[FOOTNOTEBridsonHaefliger1999Chapter_III.H,_Proposition_1.25-10] Bridson ve Haefliger 1999 Bölüm III.H, Önerme 1.25.

[11] r ifade verilmiştir Bridson ve Haefliger (1999 Bölüm III.H, Önerme 2.7)

[FOOTNOTEBridsonHaefliger1999Chapter_III.H,_Theorem_2.9-12] Bridson ve Haefliger 1999, Bölüm III.H, Teorem 2.9.

[13] Dyubina (Erschler), Anna; Polterovich, Iosif (2001). "Evrenselin açık yapıları R-Ağaçlar ve hiperbolik uzayların asimptotik geometrisi ". Boğa. London Math. Soc. 33. s. 727–734. BAY 1853785.

[FOOTNOTEde_la_HarpeGhys1990Chapitre_7,_page_120-14] Harpe ve Ghys 1990, Chapitre 7, sayfa 120.

[FOOTNOTEde_la_HarpeGhys1990Chapitre_7,_section_2-15] Harpe ve Ghys 1990, Chapitre 7, bölüm 2.

[FOOTNOTEde_la_HarpeGhys1990Chapitre_7,_section_3-16] Harpe ve Ghys 1990, Chapitre 7, bölüm 3.

[FOOTNOTEde_la_HarpeGhys1990Chapitre_7,_Proposition_4-17] Harpe ve Ghys 1990, Bölüm 7, Önerme 4.

[FOOTNOTEBridsonHaefliger1999428-18] Bridson ve Haefliger 1999, s. 428.

[FOOTNOTEde_la_HarpeGhys1990Chapitre_8-19] Harpe ve Ghys 1990, Chapitre 8.

[20] Masur, Howard A .; Minsky, Yair N. (1999). "Eğriler kompleksinin geometrisi. I. Hiperboliklik". İcat etmek. Matematik. 138. s. 103–149. BAY 1714338.

[21] Dahmani, François; Guirardel, Vincent; Osin, Denis. "Hiperbolik olarak gömülü alt gruplar ve hiperbolik boşluklar üzerinde hareket eden gruplar halinde dönen aileler".

[22] Bestvina, Mladen; Feighn Mark (2014). "Serbest faktörler kompleksinin hiperbolikliği". Adv. Matematik. 256. sayfa 104–155. BAY 3177291.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]