İçinde olasılık teorisi ve yönlü istatistikler, bir dairesel düzgün dağılım yoğunluğu tüm açılar için tekdüze olan birim çember üzerindeki bir olasılık dağılımıdır.
Açıklama
olasılık yoğunluk fonksiyonu Dairesel tekdüze dağılımın (pdf):
![f _ {{UC}} ( theta) = { frac {1} {2 pi}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c875755f652c5922c4ee165785ba4c996f7c2e)
Dairesel değişken açısından
dairesel düzgün dağılımın dairesel momentlerinin tümü sıfırdır,
:
![langle z ^ {n} rangle = delta _ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c9fe29f473b9187d466e77b577fcf35111d7526)
nerede
... Kronecker deltası sembol.
Ortalama açı tanımsızdır ve ortalama sonucun uzunluğu sıfırdır.
![R = | langle z ^ {n} rangle | = 0 ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3107cf29f9dd6fa175a410ccdf6b625cdc5cf15b)
Ortalamanın dağılımı
Bir kümenin örnek ortalaması N ölçümler
dairesel bir tekdüze dağılımdan çizilen şu şekilde tanımlanır:
![overline {z} = { frac {1} {N}} sum _ {{n = 1}} ^ {N} z_ {n} = overline {C} + i overline {S} = overline {R} e ^ {{i overline { theta}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe6632feb3fa667979c4c5eb220856219aaa56b)
ortalama sinüs ve kosinüs:[1]
![overline {C} = { frac {1} {N}} sum _ {{n = 1}} ^ {N} cos ( theta _ {n}) qquad qquad overline {S} = { frac {1} {N}} toplam _ {{n = 1}} ^ {N} sin ( theta _ {n})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb3c24d0009bf40631310eac43dfa6bfe621b71)
ve sonuçta ortaya çıkan ortalama uzunluk:
![{ displaystyle { overline {R}} ^ {2} = | { overline {z}} | ^ {2} = { overline {C}} ^ {2} + { overline {S}} ^ { 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0509df827dc8c320972c7d4571587b0e99dd32f6)
ve ortalama açı:
![{ overline { theta}} = mathrm {Arg} ({ overline {z}}). ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb926c0cc34b0c6bcb6f513809480af55e09312)
Dairesel tekdüze dağılım için örnek ortalama, sıfıra konsantre olacak ve N artışlar. Düzgün dağılım için numune ortalamasının dağılımı şu şekilde verilir:[2]
![{ frac {1} {(2 pi) ^ {N}}} int _ { Gama} prod _ {{n = 1}} ^ {N} d theta _ {n} = P ( üst çizgi {R}) P ( overline { theta}) , d overline {R} , d overline { theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1db394c6f5155d2de95edd00b17223ee752efd6e)
nerede
aralıklardan oluşur
değişkenlerde, şu kısıtlamaya tabidir:
ve
sabittir veya alternatif olarak
ve
sabittir. Açının dağılımı
üniforma
![P ( overline { theta}) = { frac {1} {2 pi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d013cf526c7b89d122d2397857c403f5f84d59c2)
ve dağılımı
tarafından verilir:[2]
![P_ {N} ( overline {R}) = N ^ {2} overline {R} int _ {0} ^ { infty} J_ {0} (N overline {R} , t) J_ { 0} (t) ^ {N} t , dt](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04fce6292daf34f9641b56a7f01eec2e605f584)
10.000 noktalı bir Monte Carlo simülasyonu için dairesel bir tekdüze dağılımın örnek ortalamasının dağılımıN = 3
nerede
... Bessel işlevi sıfır mertebesinde. Yukarıdaki integral için bilinen bir genel analitik çözüm yoktur ve integraldeki çok sayıda salınım nedeniyle değerlendirilmesi zordur. N = 3 için ortalamanın dağılımının 10.000 noktalı bir Monte Carlo simülasyonu şekilde gösterilmektedir.
Bazı özel durumlar için yukarıdaki integral değerlendirilebilir:
![{ displaystyle P_ {2} ({ overline {R}}) = { frac {2} { pi { sqrt {1 - { overline {R}} ^ {2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6511ffead8230fd2d7804c65acd69080ea5bfd20)
Büyük için N, ortalamanın dağılımı, yönlü istatistikler için merkezi limit teoremi. Açılar eşit olarak dağıtıldığı için, açıların tek tek sinüsleri ve kosinüsleri şu şekilde dağıtılacaktır:
![P (u) du = { frac {1} { pi}} , { frac {du} {{ sqrt {1-u ^ {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0900b9dff81c7b43343c87f9306f62e4cf01da8f)
nerede
veya
. Sıfır ortalamaya ve 1/2 varyansına sahip olacaklarını izler. Merkezi limit teoremine göre, büyük sınırda N,
ve
çok sayıda i.i.d olacak normalde ortalama sıfır ve varyans ile dağıtılır
. Ortaya çıkan ortalama uzunluk
, iki normal dağılıma sahip değişkenin toplamının karekökü olarak, Chi dağıtılmış iki serbestlik dereceli (yaniRayleigh dağıtılmış ) ve varyans
:
![{ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} P_ {N} ({ overline {R}}) = 2N { overline {R}} , e ^ {- N { overline {R}} ^ {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb9b33aee78a6824739f0913e7cdbe6f78b8d42)
Entropi
Diferansiyel bilgi entropisi tekdüze dağılımın
![H_ {U} = - int _ { Gama} { frac {1} {2 pi}} ln left ({ frac {1} {2 pi}} sağ) , d theta = ln (2 pi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1743e2c17cc25aa72bf2bc2489ac762d4177dc)
nerede
herhangi bir uzunluk aralığı
. Bu, herhangi bir dairesel dağılımın sahip olabileceği maksimum entropidir.
Ayrıca bakınız
Referanslar
|
---|
Ayrık tek değişkenli sınırlı destekle | |
---|
Ayrık tek değişkenli sonsuz destekle | |
---|
Sürekli tek değişkenli sınırlı bir aralıkta desteklenir | |
---|
Sürekli tek değişkenli yarı sonsuz bir aralıkta desteklenir | |
---|
Sürekli tek değişkenli tüm gerçek çizgide desteklenir | |
---|
Sürekli tek değişkenli türü değişen destekle | |
---|
Sürekli ayrık tek değişkenli karışık | |
---|
Çok değişkenli (ortak) | |
---|
Yönlü | |
---|
Dejenere ve tekil | |
---|
Aileler | |
---|