normal-ters-WishartGösterim | ![({ boldsymbol mu}, { boldsymbol Sigma}) sim { mathrm {NIW}} ({ boldsymbol mu} _ {0}, lambda, { boldsymbol Psi}, nu)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c2e4e8dafc141669af0ac2adadec0ec1cfe352) |
---|
Parametreler | yer (vektör gerçek )
(gerçek)
ters ölçek matrisi (konum def. )
(gerçek) |
---|
Destek | kovaryans matrisi (konum def. ) |
---|
PDF | ![f ({ boldsymbol mu}, { boldsymbol Sigma} | { boldsymbol mu} _ {0}, lambda, { boldsymbol Psi}, nu) = { mathcal {N}} ({ boldsymbol mu} | { boldsymbol mu} _ {0}, { tfrac {1} { lambda}} { boldsymbol Sigma}) { mathcal {W}} ^ {{- 1}} ({ kalın sembol Sigma} | { kalın sembol Psi}, nu)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2842dad1aac931b2641083e47e3cd2cd52db75ed) |
---|
İçinde olasılık teorisi ve İstatistik, normal-ters-Wishart dağılımı (veya Gauss-ters-Wishart dağılımı) çok değişkenli dört parametreli bir sürekli olasılık dağılımları. O önceki eşlenik bir çok değişkenli normal dağılım bilinmeyenle anlamına gelmek ve kovaryans matrisi (tersi hassas matris ).[1]
Tanım
Varsayalım
![{ boldsymbol mu} | { boldsymbol mu} _ {0}, lambda, { boldsymbol Sigma} sim { mathcal {N}} left ({ boldsymbol mu} { Big |} { boldsymbol mu} _ {0}, { frac {1} { lambda}} { boldsymbol Sigma} sağ)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437ef1668b00322c3ca4d5c6feb0117cfd8da5e8)
var çok değişkenli normal dağılım ile anlamına gelmek
ve kovaryans matrisi
, nerede
![{ boldsymbol Sigma} | { boldsymbol Psi}, nu sim { mathcal {W}} ^ {{- 1}} ({ boldsymbol Sigma} | { boldsymbol Psi}, nu)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a519bca315507bf03617d8f6ca02ba33a7a7faea)
var ters Wishart dağılımı. Sonra
normal-ters-Wishart dağılımına sahiptir.
![({ boldsymbol mu}, { boldsymbol Sigma}) sim { mathrm {NIW}} ({ boldsymbol mu} _ {0}, lambda, { boldsymbol Psi}, nu).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d264df238ef2f89eecd6415df710bb1e1115cfe4)
Karakterizasyon
Olasılık yoğunluk işlevi
![f ({ boldsymbol mu}, { boldsymbol Sigma} | { boldsymbol mu} _ {0}, lambda, { boldsymbol Psi}, nu) = { mathcal {N}} left ({ boldsymbol mu} { Big |} { boldsymbol mu} _ {0}, { frac {1} { lambda}} { boldsymbol Sigma} right) { mathcal {W}} ^ {{- 1}} ({ kalın sembol Sigma} | { kalın sembol Psi}, nu)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5b86f41bc9b6292f7ffaa2b58ccca1e1d54675)
PDF'nin tam sürümü aşağıdaki gibidir:[2]
![{ displaystyle f ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}} | alpha, { boldsymbol { Psi}}, gamma, { boldsymbol { delta}}) = { frac { gamma ^ {D / 2} | { boldsymbol { Psi}} | ^ { alpha / 2} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {- { frac { alpha + D + 2 } {2}}}} {(2 pi) ^ {D / 2} 2 ^ { frac { alpha D} {2}} Gama _ {D} ({ frac { alpha} {2} })}} { text {exp}} left {- { frac {1} {2}} (Tr ({ boldsymbol { Psi Sigma}} ^ {- 1}) + gamma ({ boldsymbol { mu}} - { boldsymbol { delta}}) ^ {T} { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} ({ boldsymbol { mu}} - { boldsymbol { delta }}))sağ}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432b39ecdf3c5e4993f35ebf85344067af1141e5)
Buraya
çok değişkenli gama işlevi ve
verilen matrisin İzidir.
Özellikleri
Ölçeklendirme
Marjinal dağılımlar
Yapım gereği marjinal dağılım bitmiş
bir ters Wishart dağılımı, ve koşullu dağılım bitmiş
verilen
bir çok değişkenli normal dağılım. marjinal dağılım bitmiş
bir çok değişkenli t dağılımı.
Parametrelerin arka dağılımı
Örnekleme yoğunluğunun çok değişkenli bir normal dağılım olduğunu varsayalım
![{ displaystyle { boldsymbol {y_ {i}}} | { boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}} sim { mathcal {N}} _ {p} ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63f9cd3eb014477280cb78e99de6610980ff0f1)
nerede
bir
matris ve
(uzunluk
) satırdır
matrisin.
Örnekleme dağılımının ortalama ve kovaryans matrisi bilinmediğinden, ortalama ve kovaryans parametrelerinin önüne bir Normal-Ters-Wishart yerleştirebiliriz.
![{ displaystyle ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}}) sim mathrm {NIW} ({ boldsymbol { mu}} _ {0}, lambda, { boldsymbol { Psi}}, nu).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d264df238ef2f89eecd6415df710bb1e1115cfe4)
Ortalama ve kovaryans matrisi için ortaya çıkan posterior dağılım da bir Normal-Ters-Wishart olacaktır.
![{ displaystyle ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}} | y) sim mathrm {NIW} ({ boldsymbol { mu}} _ {n}, lambda _ {n }, { boldsymbol { Psi}} _ {n}, nu _ {n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b164adca832d80b5522de5198e6ea8227097b53)
nerede
![{ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {n} = { frac { lambda { boldsymbol { mu}} _ {0} + n { bar { boldsymbol {y}}}} { lambda + n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64cc80174f172aa439a204fa544e49ef6bcba190)
![{ displaystyle lambda _ {n} = lambda + n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647f47932a28c964898103c3992485127db369ce)
![{ displaystyle nu _ {n} = nu + n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3be3a7b633fdd1cbbfd10bfe3d8da9dbfcbfd0b)
.
Eklem arkasından numune almak için
basitçe örneklerini alır
, sonra çiz
. Yeni bir gözlemin arka öngörüsünden yararlanmak için,
zaten çizilmiş değerleri göz önüne alındığında
ve
.[3]
Normal-ters-Wishart rastgele değişkenler oluşturma
Rastgele değişkenlerin oluşturulması basittir:
- Örneklem
bir ters Wishart dağılımı parametrelerle
ve ![nu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
- Örneklem
bir çok değişkenli normal dağılım ortalama ile
ve varyans ![{ boldsymbol { tfrac {1} { lambda}}} { boldsymbol Sigma}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99771ec77b0e8b45449f81b794af769a5f3020be)
İlgili dağılımlar
- normal Wishart dağılımı temelde varyans yerine kesinlik ile parametreleştirilen aynı dağılımdır. Eğer
sonra
. - normal-ters-gama dağılımı tek boyutlu eşdeğerdir.
- çok değişkenli normal dağılım ve ters Wishart dağılımı bu dağıtımın yapıldığı bileşen dağılımlarıdır.
Notlar
- ^ Murphy, Kevin P. (2007). "Gauss dağılımının eşlenik Bayes analizi." [1]
- ^ Simon J.D. Prince (Haziran 2012). Bilgisayarla Görü: Modeller, Öğrenme ve Çıkarım. Cambridge University Press. 3.8: "Normal ters Wishart dağılımı".
- ^ Gelman, Andrew ve diğerleri. Bayesci veri analizi. Cilt 2, sayfa 73. Boca Raton, FL, ABD: Chapman & Hall / CRC, 2014.
Referanslar
- Piskopos Christopher M. (2006). Örüntü Tanıma ve Makine Öğrenimi. Springer Science + Business Media.
- Murphy, Kevin P. (2007). "Gauss dağılımının eşlenik Bayes analizi." [2]
|
---|
Ayrık tek değişkenli sınırlı destekle | |
---|
Ayrık tek değişkenli sonsuz destekle | |
---|
Sürekli tek değişkenli sınırlı bir aralıkta desteklenir | |
---|
Sürekli tek değişkenli yarı sonsuz bir aralıkta desteklenir | |
---|
Sürekli tek değişkenli tüm gerçek çizgide desteklenir | |
---|
Sürekli tek değişkenli türü değişen destekle | |
---|
Sürekli ayrık tek değişkenli karışık | |
---|
Çok değişkenli (ortak) | |
---|
Yönlü | |
---|
Dejenere ve tekil | |
---|
Aileler | |
---|