Kesin simetrik matris - Definite symmetric matrix

İçinde lineer Cebir, bir simetrik gerçek matris olduğu söyleniyor pozitif tanımlı skaler ise sıfır olmayan her sütun için kesinlikle pozitiftir vektör nın-nin gerçek sayılar. Buraya gösterir değiştirmek nın-nin .[1] Çevirirken bir operatörün çıktısı olarak, , bir girdiye göre hareket eden, , pozitif kesinlik özelliği, çıktının her zaman pozitif bir iç ürün fiziksel süreçlerde sıklıkla gözlemlendiği gibi girdi ile. Başka bir deyişle, M 'ye (Mz) uygulamak çıktıyı z yönünde tutar.

Daha genel olarak, karmaşık Hermit matrisi olduğu söyleniyor pozitif tanımlı skaler ise sıfır olmayan her sütun vektörü için kesinlikle pozitiftir nın-nin Karışık sayılar. Buraya gösterir eşlenik devrik nın-nin . Bunu not et çünkü otomatik olarak gerçektir Hermitian.

Pozitif yarı kesin matrisler, yukarıdaki skalerlerin veya pozitif olmalı veya sıfır (yani negatif olmayan). Olumsuz-kesin ve olumsuz yarı kesin matrisler benzer şekilde tanımlanır. Pozitif yarı tanımlı olmayan ve negatif yarı tanımlı olmayan bir matrise belirsiz.

Matris pozitif tanımlıdır ancak ve ancak iki doğrusal form dır-dir pozitif tanımlı (ve benzer şekilde pozitif tanımlı sesquilineer form karmaşık durumda). Bu, bir koordinat gerçekleşmesidir. iç ürün bir vektör alanı.[2]

Bazı yazarlar, simetrik olmayan bazı gerçek matrisler veya Hermit olmayan karmaşık matrisler dahil olmak üzere daha genel kesinlik tanımları kullanır.

Tanımlar

Aşağıdaki tanımlarda, devrik mi , ... eşlenik devrik nın-nin ve gösterir nboyutlu sıfır vektör.

Gerçek matrisler için tanımlar

Bir simetrik gerçek matris olduğu söyleniyor pozitif tanımlı Eğer sıfır olmayan herkes için içinde . Resmen,

Bir simetrik gerçek matris olduğu söyleniyor pozitif yarı belirsiz veya negatif olmayan belirli Eğer hepsi için içinde . Resmen,

Bir simetrik gerçek matris olduğu söyleniyor negatif tanımlı Eğer sıfır olmayan herkes için içinde . Resmen,

Bir simetrik gerçek matris olduğu söyleniyor negatif-yarı kesin veya pozitif olmayan tanımlı Eğer hepsi için içinde . Resmen,

Bir ne pozitif yarı kesin ne de negatif yarı kesin olmayan simetrik gerçek matris denir belirsiz.

Karmaşık matrisler için tanımlar

Aşağıdaki tanımların tümü terimi içerir . Bunun herhangi bir Hermitian kare matrisi için her zaman gerçek bir sayı olduğuna dikkat edin. .

Bir Hermitsel karmaşık matris olduğu söyleniyor pozitif tanımlı Eğer sıfır olmayan herkes için içinde . Resmen,

Bir Hermitsel karmaşık matris olduğu söyleniyor pozitif yarı kesin veya negatif olmayan belirli Eğer hepsi için içinde . Resmen,

Bir Hermitsel karmaşık matris olduğu söyleniyor negatif tanımlı Eğer sıfır olmayan herkes için içinde . Resmen,

Bir Hermitsel karmaşık matris olduğu söyleniyor olumsuz yarı kesin veya pozitif olmayan tanımlı Eğer hepsi için içinde . Resmen,

Bir Ne pozitif yarı kesin ne de negatif yarı kesin olmayan Hermitian karmaşık matris denir belirsiz.

Gerçek ve karmaşık tanımlar arasında tutarlılık

Her gerçek matris aynı zamanda karmaşık bir matris olduğundan, iki sınıf için "kesinlik" tanımları uyuşmalıdır.

Karmaşık matrisler için en yaygın tanım " pozitif tanımlıdır ancak ve ancak sıfır olmayanların tümü için gerçek ve pozitiftir karmaşık sütun vektörleri ". Bu koşul şu anlama gelir: Hermiteseldir (yani transpoze eşleniğine eşittir). Bunu görmek için matrisleri düşünün ve , Böylece ve . Matrisler ve Hermitliler, bu nedenle ve bireysel olarak gerçektir. Eğer o zaman gerçek herkes için sıfır olmalı . Sonra sıfır matris ve , bunu kanıtlamak Hermitian.

Bu tanıma göre, pozitif tanımlı gerçek matris Hermiteseldir, dolayısıyla simetriktir; ve sıfır olmayanların tümü için pozitiftir gerçek sütun vektörleri . Ancak son koşul tek başına yeterli değildir pozitif-tanımlı olmak. Örneğin, eğer

o zaman herhangi bir gerçek vektör için girişlerle ve sahibiz eğer her zaman olumlu olan sıfır değil. Ancak, eğer girdileri olan karmaşık vektördür ve , biri alır

ki bu gerçek değil. Bu nedenle, pozitif tanımlı değildir.

Öte yandan, bir simetrik gerçek matris , kondisyon " sıfır olmayan tüm gerçek vektörler için " yapar Ima etmek karmaşık anlamda pozitif tanımlıdır.

Gösterim

Hermit matrisi ise pozitif yarı kesin, bazen yazar ve eğer pozitif tanımlıdır biri yazar . Bunu belirtmek için negatif yarı kesin bir yazar ve bunu belirtmek için negatif tanımlıdır yazıyor .

Fikir gelir fonksiyonel Analiz pozitif yarı kesin matrisler nerede pozitif operatörler.

Yaygın bir alternatif gösterim , , ve sırasıyla pozitif yarı belirli ve pozitif tanımlı, negatif yarı belirli ve negatif tanımlı matrisler için. Bu bazen kafa karıştırıcı olabilir negatif olmayan matrisler (sırasıyla, pozitif olmayan matrisler) de bu şekilde gösterilir.

Örnekler

  • kimlik matrisi pozitif tanımlıdır (ve aynı zamanda pozitif yarı tanımlıdır). Bu gerçek bir simetrik matristir ve sıfır olmayan herhangi bir sütun vektörü için z gerçek girdilerle a ve b, birinde var
    .

    Sıfır olmayan herhangi bir sütun vektörü için karmaşık bir matris olarak görülüyor z karmaşık girişlerle a ve b birinde var

    .
    Her iki durumda da sonuç olumlu çünkü sıfır vektör değildir (yani, en az biri ve sıfır değil).
  • Gerçek simetrik matris
    sıfır olmayan herhangi bir sütun vektörü için pozitif tanımlıdır z girişlerle a, b ve c, sahibiz
    Bu sonuç karelerin toplamıdır ve bu nedenle negatif değildir; ve sadece sıfır ise yani ne zaman z sıfır vektördür.
  • Herhangi bir gerçek için tersinir matris , ürün pozitif tanımlı bir matristir (eğer A'nın sütunlarının ortalamaları 0 ise, bu aynı zamanda kovaryans matrisi ). Basit bir kanıt, sıfır olmayan herhangi bir vektör için , kondisyon matrisin tersinirliğinden beri anlamına gelir
  • Örnek Yukarıdaki bazı elemanların negatif olduğu bir matrisin hala pozitif tanımlı olabileceğini göstermektedir. Tersine, girişlerinin tümü pozitif olan bir matris, örneğin, pozitif tanımlı olmak zorunda değildir.
    hangisi için

Özdeğerler

İzin Vermek fasulye Hermit matrisi. Bu, tüm öz değerlerinin gerçek olduğu anlamına gelir.

  • pozitif tanımlıdır ancak ve ancak tüm özdeğerleri pozitifse.
  • ancak ve ancak tüm özdeğerleri negatif değilse pozitif yarı kesin.
  • negatif tanımlıdır ancak ve ancak tüm özdeğerleri negatifse
  • negatif yarı kesin ancak ve ancak tüm özdeğerleri pozitif değilse.
  • ancak ve ancak hem pozitif hem de negatif özdeğerlere sahipse belirsizdir.

İzin Vermek fasulye eigende kompozisyon nın-nin , nerede bir üniter karmaşık matris kimin sütunları bir ortonormal taban nın-nin özvektörler nın-nin , ve bir gerçek Diyagonal matris kimin ana çapraz karşılık gelen özdeğerler. Matris köşegen bir matris olarak kabul edilebilir (öz vektörler) temelinin koordinatlarında yeniden ifade edilen . Başka bir deyişle, koordinat sistemimizdeki (Mz) bir z vektörüne M uygulamak ile aynıdır. temeli değiştirmek Z'nin P kullanarak öz vektör koordinat sistemine−1 (P−1z), uygulayarak germe dönüşümü D ona (DP−1z) ve ardından temeli P (PDP−1z).

Bunu akılda tutarak, değişkenlerin bire bir değişimi gösterir ki herhangi bir karmaşık vektör için gerçek ve pozitiftir ancak ve ancak herhangi biri için gerçek ve olumlu ; başka bir deyişle, eğer pozitif tanımlıdır. Köşegen bir matris için, bu yalnızca ana köşegenin her bir öğesi, yani her özdeğer Pozitiftir. Beri spektral teorem Hermit matrisinin tüm özdeğerlerinin gerçek olmasını garanti eder, özdeğerlerin pozitifliği kullanılarak kontrol edilebilir Descartes'ın alternatif işaretler kuralı ne zaman karakteristik polinom gerçek, simetrik bir matrisin kullanılabilir.

Ayrışma

İzin Vermek fasulye Hermit matrisi. pozitif yarı belirsizdir ancak ve ancak bir ürün olarak ayrıştırılabilirse

bir matrisin onunla eşlenik devrik.

Ne zaman gerçek, gerçek olabilir ve ayrıştırma şu şekilde yazılabilir:

pozitif tanımlıdır ancak ve ancak böyle bir ayrışma varsa ters çevrilebilir.Daha genel olarak, derece ile pozitif yarı kesin ancak ve ancak bir ayrışma varsa matris tam satır sırası (yani sıra Ayrıca, herhangi bir ayrışma için , .[3]

Kanıt

Eğer , sonra , yani yarı kesin pozitiftir. dahası tersinirse eşitsizlik katıdır , yani pozitif tanımlı. eğer dır-dir rütbe , sonra .

Diğer yönde varsayalım yarı kesin pozitiftir. Hermitian, bir eigende kompozisyon nerede dır-dir üniter ve girişleri özdeğerleri olan köşegen bir matristir Dan beri pozitif yarı kesin, özdeğerler negatif olmayan gerçek sayılardır, bu nedenle biri tanımlanabilir girişleri özdeğerlerin negatif olmayan karekökleri olan köşegen matris olarak. sonra için Dahası pozitif tanımlıysa, özdeğerler (kesinlikle) pozitiftir, yani tersinirdir ve dolayısıyla aynı zamanda tersinirdir. sıralaması var o zaman tam olarak pozitif özdeğerler ve diğerleri sıfırdır, dolayısıyla neredeyse satırların tümü sıfırlanır. sıfır satırları kesmek bir matris öyle ki .

Kolonlar nın-nin vektörler olarak görülebilir karmaşık veya gerçek vektör uzayı sırasıyla. sonra girişleri vardır iç ürünler (yani nokta ürünler, gerçek durumda) bu vektörlerin

Başka bir deyişle, bir Hermit matrisi pozitif yarı kesin ancak ve ancak Gram matrisi bazı vektörlerin Ancak ve ancak bazılarının Gram matrisi ise pozitif tanımlıdır. Doğrusal bağımsız Vektörler Genel olarak, vektörlerin Gram matrisinin sıralaması uzayın boyutuna eşittir yayılmış bu vektörler tarafından.[4]

Üniter dönüşümlere kadar benzersizlik

Ayrıştırma benzersiz değildir: eğer bazı matris ve eğer herhangi biri üniter matris (anlam ),sonra için .

Bununla birlikte, iki ayrışmanın farklı olabilmesinin tek yolu budur: ayrışma, üniter dönüşümler Daha resmi olarak, eğer bir matris ve bir matris öyle ki o zaman bir matris ortonormal sütunlarla (anlamı ) öyle ki .[5]Ne zaman Bunun anlamı dır-dir üniter.

Bu ifadenin gerçek durumda sezgisel bir geometrik yorumu vardır: ve vektörler ol ve içinde Gerçek bir üniter matris bir ortogonal matris, tanımlayan katı dönüşüm (Öklid uzayının bir izometrisi ) 0 noktasını koruyarak (yani rotasyonlar ve yansımalar, çeviriler olmadan). Bu nedenle, nokta ürünler ve eşittir ancak ve ancak bazı katı dönüşümü vektörleri dönüştürür -e (ve 0 ila 0).

Kare kök

Bir matris pozitif yarı kesin, ancak ve ancak pozitif bir yarı kesin matris varsa (özellikle Hermitian, yani ) doyurucu . Bu matris benzersiz,[6] denir negatif olmayan kare kök nın-nin ve ile gösterilir .Ne zaman pozitif tanımlı, yani bu nedenle aynı zamanda pozitif kök nın-nin .

Negatif olmayan karekök, diğer ayrıştırmalarla karıştırılmamalıdır Bazı yazarlar adı kullanır kare kök ve bu tür herhangi bir ayrışma için veya özellikle Cholesky ayrışma veya formun herhangi bir ayrışması ; diğerleri sadece negatif olmayan karekök için kullanır.

Eğer sonra .

Cholesky ayrışma

Pozitif bir yarı kesin matris olarak yazılabilir , nerede negatif olmayan diyagonal ile daha düşük üçgendir (eşdeğer olarak nerede üst üçgendir); bu Cholesky ayrışma.Eğer pozitif tanımlı, sonra köşegen pozitiftir ve Cholesky ayrışımı benzersizdir. Cholesky ayrıştırması özellikle verimli sayısal hesaplamalar için kullanışlıdır. LDL ayrışması, , nerede köşegendir ve dır-dir alt birim üçgen.

Diğer karakterizasyonlar

İzin Vermek fasulye Hermit matrisi. Aşağıdaki özellikler eşdeğerdir pozitif tanımlı olmak:

İlişkili sesquilinear form bir iç çarpımdır
sesquilineer form tarafından tanımlandı işlev itibaren -e öyle ki hepsi için ve içinde , nerede eşlenik devrik . Herhangi bir karmaşık matris için , bu biçim doğrusaldır ve yarı doğrusal . Bu nedenle, form bir iç ürün açık ancak ve ancak sıfırdan farklı olanlar için gerçek ve pozitiftir ; bu sadece ve ancak pozitif tanımlıdır. (Aslında, her iç ürün bu şekilde Hermitian pozitif tanımlı bir matristen ortaya çıkar.)
Başlıca küçüklerin hepsi olumlu
kinci önde gelen asıl minör bir matrisin ... belirleyici sol üstte alt matris. Bir matrisin, ancak ve ancak tüm bu belirleyiciler pozitifse pozitif tanımlı olduğu ortaya çıkar. Bu durum olarak bilinir Sylvester'ın kriteri ve simetrik bir gerçek matrisin pozitif kesinliğinin verimli bir testini sağlar. Yani, matris bir üst üçgen matris kullanarak temel satır işlemleri ilk bölümde olduğu gibi Gauss elimine etme yöntem, belirleyicisinin işaretini korumaya özen göstererek eksen etrafında dönen süreç. Beri kÜçgensel bir matrisin baştaki ana minörü, köşegen elemanlarının satıra kadar çarpımıdır. , Sylvester'ın kriteri, köşegen elemanlarının hepsinin pozitif olup olmadığını kontrol etmeye eşdeğerdir. Bu koşul, her yeni satırda kontrol edilebilir üçgen matris elde edilir.

Pozitif yarı belirsiz bir matris pozitif tanımlıdır, ancak ve ancak ters çevrilebilir.[7]Bir matris negatif (yarı) kesin ancak ve ancak pozitif (yarı) kesin.

İkinci dereceden formlar

(Tamamen) ikinci dereceden form gerçek ile ilişkili matris işlev öyle ki hepsi için . ile değiştirilerek simetrik varsayılabilir .

Simetrik bir matris pozitif tanımlıdır ancak ve ancak ikinci dereceden formu bir kesinlikle dışbükey işlev.

Daha genel olarak herhangi biri ikinci dereceden fonksiyon itibaren -e olarak yazılabilir nerede simetrik matris, gerçek -vektör ve gerçek bir sabit. Bu ikinci dereceden fonksiyon kesinlikle dışbükeydir ve bu nedenle benzersiz bir sonlu küresel minimuma sahiptir, ancak ve ancak pozitif tanımlıdır. Bu nedenle, pozitif tanımlı matrisler önemli bir rol oynar. optimizasyon sorunlar.

Eşzamanlı köşegenleştirme

Simetrik bir matris ve başka bir simetrik ve pozitif tanımlı matris olabilir aynı anda çaprazlama, ancak mutlaka bir benzerlik dönüşümü. Bu sonuç, üç veya daha fazla matris durumunda geçerli değildir. Bu bölümde gerçek durum için yazıyoruz. Karmaşık vakaya genişletme acildir.

İzin Vermek simetrik olmak ve simetrik ve pozitif tanımlı bir matris. Genelleştirilmiş özdeğer denklemini şöyle yazın: bunu nereye dayatıyoruz normalleştirilebilir, yani . Şimdi kullanıyoruz Cholesky ayrışma tersini yazmak gibi . Çarpan ve izin vermek , anlıyoruz olarak yeniden yazılabilir nerede . Manipülasyon artık verim veriyor nerede sütun olarak genelleştirilmiş özvektörlere sahip bir matristir ve genelleştirilmiş özdeğerlerin köşegen bir matrisidir. Şimdi ön çarpma nihai sonucu verir: ve , ancak bunun artık iç çarpıma göre ortogonal bir köşegenleştirme olmadığını unutmayın. . Aslında köşegenleştirdik tarafından indüklenen iç ürüne göre .[8]

Bu sonucun makalede eşzamanlı köşegenleştirme üzerine söylenenlerle çelişmediğini unutmayın. Köşegenleştirilebilir matris, benzerlik dönüşümü ile eşzamanlı köşegenleştirmeyi ifade eder. Buradaki sonucumuz, iki kuadratik formun eşzamanlı köşegenleştirilmesine daha benzerdir ve bir formun diğer koşullar altında optimizasyonu için kullanışlıdır.

Özellikleri

İndüklenmiş kısmi sıralama

Keyfi kare matrisler için , Biz yazarız Eğer yani pozitif yarı kesindir. Bu bir kısmi sipariş tüm kare matrisler kümesinde. Benzer şekilde katı bir kısmi sıralama da tanımlanabilir Siparişin adı Loewner siparişi.

Pozitif tanımlı matrisin tersi

Her pozitif tanımlı matris ters çevrilebilir ve bunun tersi de pozitif tanımlıdır.[9] Eğer sonra .[10] Üstelik min-max teoremi, ken büyük özdeğer daha büyük ken büyük özdeğer .

Ölçeklendirme

Eğer pozitif tanımlı ve gerçek bir sayıdır pozitif tanımlıdır.[11]

İlave

Eğer ve pozitif tanımlı, sonra toplam aynı zamanda pozitif tanımlıdır.[11]

Çarpma işlemi

  • Eğer ve pozitif tanımlı, sonra ürünler ve ayrıca pozitif tanımlıdır. Eğer , sonra aynı zamanda pozitif tanımlıdır.
  • Eğer yarı kesin pozitiftir, o zaman herhangi bir (muhtemelen dikdörtgen) matris için pozitif yarı kesin . Eğer pozitif tanımlı ve tam sütun sıralamasına sahipse pozitif tanımlıdır.[12]

Alt matrisler

Pozitif tanımlı bir matrisin her ana alt matrisi pozitif tanımlıdır.

İzleme

Çapraz girişler pozitif-yarı-kesin bir matrisin değeri gerçektir ve negatif değildir. Sonuç olarak iz, . Ayrıca,[13] her ana alt matris (özellikle 2'ye 2) pozitif yarı kesin olduğu için,

ve böylece, ne zaman ,

Bir Hermit matrisi aşağıdaki iz eşitsizliklerini karşılıyorsa pozitif tanımlıdır:[14]

Bir başka önemli sonuç da, herhangi biri için ve pozitif-yarı kesin matrisler,

Hadamard ürünü

Eğer , olmasına rağmen pozitif yarı kesin gerekli değildir, Hadamard ürünü dır-dir, (bu sonuca genellikle Schur çarpım teoremi ).[15]

İki pozitif yarı kesin matrisin Hadamard çarpımı ile ilgili olarak , iki önemli eşitsizlik var:

  • Oppenheim eşitsizliği: [16]
  • .[17]

Kronecker ürünü

Eğer , olmasına rağmen pozitif yarı kesin gerekli değildir, Kronecker ürünü .

Frobenius ürünü

Eğer , olmasına rağmen pozitif yarı kesin gerekli değildir, Frobenius ürünü (Lancaster-Tismenetsky, Matrisler Teorisi, s. 218).

Dışbükeylik

Pozitif yarı belirsiz simetrik matrisler kümesi dışbükey. Yani, eğer ve pozitif yarı kesin, sonra herhangi biri için 0 ile 1 arasında, aynı zamanda pozitif yarı sonsuzdur. Herhangi bir vektör için :

Bu özellik şunları garanti eder: yarı belirsiz programlama sorunlar küresel olarak en uygun çözüme kavuşur.

Kosinüs ile ilişki

Bir matrisin pozitif tanımlılığı açının herhangi bir vektör arasında ve görüntüsü her zaman :

Diğer özellikler

  1. Eğer simetrik Toeplitz matrisi, yani girişler mutlak indeks farklılıklarının bir fonksiyonu olarak verilmiştir: , ve katı eşitsizlik

    o zaman tutar dır-dir kesinlikle pozitif tanımlı.
  2. İzin Vermek ve Hermitian. Eğer (cevap, ) sonra (cevap, ).[18]
  3. Eğer gerçektir, o zaman bir öyle ki , nerede ... kimlik matrisi.
  4. Eğer önde gelenleri gösterir minör ... ksırasında th pivot LU ayrıştırma.
  5. Bir matris negatif tanımlıdır, eğer k-önde gelen sipariş asıl minör ne zaman olumsuz tuhaf ve ne zaman olumlu eşittir.

Hermitesel bir matris, ancak ve ancak tüm ana küçükleri negatif değilse pozitif yarı kesindir. Bununla birlikte, 0 ve −1 girdileriyle köşegen matriste kontrol edildiği gibi, yalnızca baştaki ana küçükleri dikkate almak yeterli değildir.

Blok matrisleri

Bir pozitif matris ayrıca şu şekilde tanımlanabilir: bloklar:

her bloğun olduğu yer . Pozitiflik koşulunu uygulayarak, bunu hemen takip eder ve münzevi ve .

Bizde var tüm kompleksler için ve özellikle . Sonra

Benzer bir argüman uygulanabilir ve böylece her ikisinin de ve pozitif tanımlı matrisler de olmalıdır.

Converse sonuçlar bloklar üzerinde daha güçlü koşullar ile kanıtlanabilir, örneğin Schur tamamlayıcı.

Yerel ekstrem

Bir general ikinci dereceden form açık gerçek değişkenler her zaman şöyle yazılabilir nerede bu değişkenleri içeren sütun vektörü ve simetrik bir gerçek matristir. Bu nedenle, matrisin pozitif tanımlı olması, benzersiz bir minimum (sıfır) olduğunda sıfırdır ve diğerleri için kesinlikle pozitiftir .

Daha genel olarak, iki kez türevlenebilir gerçek fonksiyon açık gerçek değişkenler bağımsız değişkenlerde yerel minimuma sahiptir eğer onun gradyan sıfırdır ve Hessian (tüm ikinci türevlerin matrisi) bu noktada pozitif yarı tanımlıdır. Negatif belirli ve yarı tanımlı matrisler için benzer ifadeler yapılabilir.

Kovaryans

İçinde İstatistik, kovaryans matrisi bir çok değişkenli olasılık dağılımı her zaman pozitif yarı kesindir; ve bir değişken diğerlerinin tam doğrusal bir fonksiyonu olmadığı sürece pozitif tanımlıdır. Tersine, her pozitif yarı kesin matris, bazı çok değişkenli dağılımın kovaryans matrisidir.

Hermit olmayan kare matrisler için uzatma

Pozitif tanımlı tanımı, herhangi bir karmaşık matris atanarak genelleştirilebilir (örneğin gerçek simetrik olmayan) pozitif tanımlı olarak sıfır olmayan tüm karmaşık vektörler için , nerede karmaşık bir sayının gerçek kısmını gösterir .[19] Sadece Hermitian kısmı matrisin pozitif tanımlı olup olmadığını belirler ve yukarıda daha dar anlamda değerlendirilir. Benzer şekilde, If ve gerçek, sahibiz sıfır olmayan tüm gerçek vektörler için ancak ve ancak simetrik kısım daha dar anlamda pozitif tanımlıdır. Hemen anlaşılıyor ki M.'nin aktarılmasına duyarsızdır.

Sonuç olarak, yalnızca pozitif özdeğerlere sahip simetrik olmayan bir gerçek matrisin pozitif tanımlı olmasına gerek yoktur. Örneğin, matris pozitif özdeğerlere sahiptir, ancak pozitif tanımlı değildir; özellikle negatif bir değer seçim ile elde edilir (bu, simetrik kısmının negatif özdeğeriyle ilişkili özvektördür. ).

Özetle, gerçek ve karmaşık durum arasındaki ayırt edici özellik şudur: sınırlı karmaşık bir Hilbert uzayındaki pozitif operatör zorunlu olarak Hermitian veya kendine eşleniktir. Genel iddia şu şekilde tartışılabilir: polarizasyon kimliği. Bu artık gerçek durumda doğru değil.

Başvurular

Isı iletkenlik matrisi

Fourier'nin ısı iletimi kanunu, ısı akısı veren sıcaklık gradyanı açısından anizotropik medya için yazılmıştır içinde simetrik mi termal iletkenlik matris. Fourier yasasına, ısının her zaman sıcaktan soğuğa akacağı beklentisini yansıtacak şekilde olumsuz eklenmiştir. Başka bir deyişle, sıcaklık gradyanı her zaman soğuktan sıcağa işaret eder, ısı akışı negatif bir iç çarpıma sahip olması bekleniyor Böylece . Fourier yasasını değiştirmek, bu beklentiyi şöyle verir: iletkenlik matrisinin pozitif tanımlı olması gerektiğini ima eder.

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ "Ek C: Pozitif Yarı-kesin ve Pozitif Belirli Matrisler". Bilim Adamları ve Mühendisler için Parametre Tahmini: 259–263. doi:10.1002 / 9780470173862.app3.
  2. ^ Stewart, J. (1976). "Pozitif belirli işlevler ve genellemeler, tarihsel bir araştırma". Rocky Mountain J. Math. 6 (3): 409–434. doi:10.1216 / RMJ-1976-6-3-409.
  3. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 440, Teorem 7.2.7
  4. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 441, Teorem 7.2.10
  5. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 452, Teorem 7.3.11
  6. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 439, Teorem 7.2.6 ile
  7. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 431, Sonuç 7.1.7
  8. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 485, Teorem 7.6.1
  9. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 438, Teorem 7.2.1
  10. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 495, Sonuç 7.7.4 (a)
  11. ^ a b Horn ve Johnson (2013), s. 430, Gözlem 7.1.3
  12. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 431, Gözlem 7.1.8
  13. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 430
  14. ^ Wolkowicz, Henry; Styan, George P.H. (1980). "İzleri Kullanan Özdeğerler için Sınırlar". Doğrusal Cebir ve Uygulamaları. Elsevier (29): 471–506.
  15. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 479, Teorem 7.5.3
  16. ^ Horn ve Johnson (2013), s. 509, Teorem 7.8.16
  17. ^ Styan, G.P. (1973). "Hadamard ürünleri ve çok değişkenli istatistiksel analiz". Doğrusal Cebir ve Uygulamaları. 6: 217–240., Sonuç 3.6, s. 227
  18. ^ Bhatia, Rajendra (2007). Pozitif Belirli Matrisler. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. s. 8. ISBN  978-0-691-12918-1.
  19. ^ Weisstein, Eric W. Pozitif Belirli Matris. Nereden MathWorld - Bir Wolfram Web Kaynağı. Erişim tarihi 2012-07-26

Referanslar

Dış bağlantılar