Riemann ve metrik geometri Sözlüğü - Glossary of Riemannian and metric geometry

Bu, içinde kullanılan bazı terimlerin bir sözlüğüdür. Riemann geometrisi ve metrik geometri - terminolojisini kapsamaz diferansiyel topoloji.

Aşağıdaki makaleler de faydalı olabilir; ya özel sözcük dağarcığı içerirler ya da aşağıda verilen tanımların daha ayrıntılı açıklamalarını sağlarlar.

Ayrıca bakınız:

Aksi belirtilmedikçe mektuplar X, Y, Z aşağıda metrik uzayları belirtir, M, N Riemann manifoldlarını belirtir |xy| veya ${ displaystyle | xy | _ {X}}$ noktalar arasındaki mesafeyi gösterir x ve y içinde X. İtalik kelime bu sözlüğe kendi kendine yapılan referansı gösterir.

Bir uyarı: Riemannian ve metrik geometride birçok terim, örneğin dışbükey işlev, dışbükey küme ve diğerleri, genel matematiksel kullanımdaki ile tam olarak aynı anlama sahip değildir.

Bir

Alexandrov uzayı Üst, alt veya integral eğrilik sınırları olan Riemann manifoldlarının bir genellemesi (sonuncusu yalnızca boyut 2'de çalışır)

Neredeyse düz manifold

Ark-bilge izometri aynı yol izometrisi.

Otoparalel aynı tamamen jeodezik

B

Barycenter, görmek kütle merkezi.

bi-Lipschitz haritası. Bir harita ${ displaystyle f: X - Y}$ pozitif sabitler varsa bi-Lipschitz denir c ve C öyle ki herhangi biri için x ve y içinde X

{ displaystyle c | xy | _ {X} leq | f (x) f (y) | _ {Y} leq C | xy | _ {X}}

Busemann işlevi verilen ışın, γ: [0, ∞) →XBusemann işlevi şu şekilde tanımlanır:

{ displaystyle B _ { gamma} (p) = lim _ {t ila infty} (| gama (t) -p | -t)}

C

Cartan-Hadamard teoremi pozitif olmayan kesitsel eğriliğe sahip, bağlantılı, basitçe bağlanmış tam bir Riemann manifoldunun farklı şekillerde olduğu ifadesidir. Rⁿ üstel harita aracılığıyla; metrik uzaylar için, Alexandrov anlamında pozitif olmayan eğriliğe sahip bağlantılı, basitçe bağlanmış tam bir jeodezik metrik uzay ifadesi (global olarak) CAT (0) alanı.

Cartan genişletilmiş Einstein Genel görelilik -e Einstein-Cartan teorisi, Riemann geometrisi yerine Riemannian-Cartan geometrisinin kullanılması. Bu uzantı şunları sağlar: afin torsiyon, simetrik olmayan eğrilik tensörlerine ve dönme yörünge bağlantısı.

Kütle merkezi. Bir nokta q ∈ M noktaların kütle merkezi denir ${ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, noktalar, p_ {k}}$ fonksiyonun global minimum noktası ise

{ displaystyle f (x) = toplamı _ {i} | p_ {i} x | ^ {2}}

Tüm mesafeler varsa böyle bir nokta benzersizdir ${ displaystyle | p_ {i} p_ {j} |}$ daha az dışbükeylik yarıçapı.

Christoffel sembolü

Çöken manifold

Tam alan

Tamamlanma

Uygun harita açıları koruyan bir haritadır.

Uygun şekilde düz a M bir Öklid uzayına yerel olarak uyumlu olarak eşdeğer ise, uyumlu olarak düzdür, örneğin standart küre, uyumlu olarak düzdür.

Eşlenik noktalar iki puan p ve q jeodezik üzerinde ${ displaystyle gamma}$ arandı eşlenik üzerinde bir Jacobi alanı varsa ${ displaystyle gamma}$ sıfır olan p ve q.

Dışbükey işlev. Bir işlev f Riemann manifoldunda herhangi bir jeodezik için ise bir dışbükey ${ displaystyle gamma}$ işlev ${ displaystyle f circ gamma}$ dır-dir dışbükey. Bir işlev f denir ${ displaystyle lambda}$ - herhangi bir jeodezik için konveks ${ displaystyle gamma}$ doğal parametreli ${ displaystyle t}$ , işlev ${ displaystyle f circ gamma (t) - lambda t ^ {2}}$ dır-dir dışbükey.

Dışbükey Bir alt küme K Riemann manifoldunun M herhangi iki nokta için ise dışbükey denir K var en kısa yol onları birbirine bağlayan K, Ayrıca bakınız tamamen dışbükey.

Kotanjant demeti

Kovaryant türev

Lokusu kes

D

Çap Bir metrik uzay, nokta çiftleri arasındaki mesafelerin üstünlüğüdür.

Geliştirilebilir yüzey bir yüzeydir eş ölçülü uçağa.

Genişleme metrik uzaylar arasındaki bir haritanın sayısı sonsuz sayıdır L öyle ki verilen harita L-Lipschitz.

E

Üstel harita: Üstel harita (Lie teorisi), Üstel harita (Riemann geometrisi)

F

Finsler metriği

İlk temel form bir ... için gömme veya daldırma ... geri çekmek of metrik tensör.

G

Jeodezik bir eğri yerel olarak en aza indiren mesafe.

Jeodezik akış bir akış bir teğet demet TM bir manifoldun Mtarafından oluşturulan Vektör alanı kimin yörüngeler formda ${ displaystyle ( gama (t), gama '(t))}$ nerede ${ displaystyle gamma}$ bir jeodezik.

Gromov-Hausdorff yakınsaması

Jeodezik metrik uzay herhangi iki noktanın bir küçültmenin uç noktaları olduğu bir metrik uzaydır. jeodezik.

H

Hadamard alanı pozitif olmayan eğriliğe sahip tamamen basit bağlantılı bir alandır.

Horosphere bir seviye seti Busemann işlevi.

ben

Enjeksiyon yarıçapı Bir noktadaki enjeksiyon yarıçapı p Riemann manifoldunun en büyük yarıçapıdır. üstel harita -de p bir diffeomorfizm. Riemann manifoldunun enjeksiyon yarıçapı Enjeksiyon yarıçapının tüm noktalardaki en üst noktasıdır. Ayrıca bakınız yeri kesmek.

Tam manifoldlar için, eğer enjeksiyon yarıçapı p sonlu bir sayıdır r, o zaman ya 2 uzunluğunda bir jeodezik varr hangi saatte başlar ve biter p ya da bir nokta var q eşlenik p (görmek eşlenik nokta yukarıda) ve uzakta r itibaren p. Bir kapalı Riemann manifoldu enjektivite yarıçapı ya kapalı bir jeodeziğin minimum uzunluğunun yarısı ya da bir jeodezik üzerindeki eşlenik noktalar arasındaki minimum mesafedir.

Infranilmanifold Basitçe bağlantılı üstelsıfır bir Lie grubu verildiğinde N Sol çarpma ve sonlu bir otomorfizm grubu ile kendi başına hareket etme F nın-nin N bir eylemi tanımlanabilir yarı yönlü ürün ${ displaystyle N rtimes F}$ açık N. Yörünge alanı N ayrık bir alt grubu tarafından ${ displaystyle N rtimes F}$ serbestçe hareket eden N denir infranilmanifold. Bir infranilmanifold, bir nilmanifold.

İzometri mesafeleri koruyan bir haritadır.

İçsel metrik

J

Jacobi alanı Bir Jacobi alanı bir Vektör alanı bir jeodezik γ aşağıdaki şekilde elde edilebilir: Tek parametreli pürüzsüz bir jeodezik ailesi alın ${ displaystyle gamma _ { tau}}$ ile ${ displaystyle gama _ {0} = gama}$ , daha sonra Jacobi alanı şu şekilde tanımlanır:

{ displaystyle J (t) = sol. { frac { kısmi gama _ { tau} (t)} { kısmi tau}} sağ | _ { tau = 0}.}

Jordan eğrisi

K

Vektör alanını öldürmek

L

Uzunluk metriği aynı içsel metrik.

Levi-Civita bağlantısı Riemann manifoldları üzerindeki vektör alanlarını ayırt etmenin doğal bir yoludur.

Lipschitz yakınsaması Lipschitz metriği ile tanımlanan yakınsama.

Lipschitz mesafesi metrik uzaylar arasında sayıların sayısı sonsuzdur r Öyle ki bir önyargı var bi-Lipschitz sabitler exp (-r), tecrübe(r).

Lipschitz haritası

Logaritmik harita Üstel haritanın sağ tersidir.

M

Ortalama eğrilik

Metrik bilye

Metrik tensör

Minimal yüzey (vektörü) ortalama eğriliği sıfır olan bir altmanifolddur.

N

Doğal parametrelendirme uzunluğa göre parametrelendirmedir.

Ağ. Bir alt küme S bir metrik uzay X denir ${ displaystyle epsilon}$ -net eğer herhangi bir nokta için X bir nokta var S uzakta ${ displaystyle leq epsilon}$ . Bu farklıdır topolojik ağlar sınırları genelleyen.

Nilmanifold: Bir nokta içeren ve aşağıdaki özelliğe sahip olan minimal manifold kümesinin bir elemanı: herhangi bir yönelimli ${ displaystyle S ^ {1}}$ nilmanifold üzerindeki -bundle, sıfırmanifold'dur. Aynı zamanda bağlantılı bir faktör olarak da tanımlanabilir. üstelsıfır Lie grubu tarafından kafes.

Normal paket: bir manifoldun gömülmesiyle ilişkili M ortamdaki bir Öklid uzayına ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {N}}$ normal demet, her noktasında lifi olan bir vektör demetidir. p ortogonal tamamlayıcıdır (içinde ${ displaystyle { mathbb {R}} ^ {N}}$ ) teğet uzay ${ displaystyle T_ {p} M}$ .

Genişlemeyen harita ile aynı kısa harita

P

Paralel taşıma

Çok yüzlü uzay a basit kompleks indüklenmiş metrik olan her simpleks bir teklekse izometrik olacak şekilde bir metrik ile Öklid uzayı.

Ana eğrilik bir yüzey üzerindeki bir noktadaki maksimum ve minimum normal eğriliklerdir.

Ana yön ana eğriliklerin yönüdür.

Yol izometrisi

Uygun metrik uzay her birinin olduğu bir metrik uzaydır kapalı top dır-dir kompakt. Eşit olarak, her kapalı sınırlı alt küme kompaktsa. Her uygun metrik uzay tamamlayınız.

Q

Quasigeodesic iki anlamı vardır; burada en yaygın olanı veriyoruz. Bir harita ${ displaystyle f: I ila Y}$ (nerede ${ displaystyle I subseteq mathbb {R}}$ bir alt segmenttir) a kuasigeodezik sabitler varsa ${ displaystyle K geq 1}$ ve ${ displaystyle C geq 0}$ öyle ki her biri için ${ displaystyle x, y I’de}$

{ displaystyle {1 K üzerinde} d (x, y) -C leq d (f (x), f (y)) leq Kd (x, y) + C.}

Bir quasigeodesic'in mutlaka sürekli bir eğri olmadığını unutmayın.

Yarı izometri. Bir harita ${ displaystyle f: X - Y}$ denir yarı izometri sabitler varsa ${ displaystyle K geq 1}$ ve ${ displaystyle C geq 0}$ öyle ki

{ displaystyle {1 K üzerinde} d (x, y) -C leq d (f (x), f (y)) leq Kd (x, y) + C.}

ve her nokta Y en fazla mesafe var C bir noktadan f(XYarı izometrinin sürekli olduğunun varsayılmadığını unutmayın. Örneğin, kompakt metrik uzaylar arasındaki herhangi bir harita yarı izometridir. X'den Y'ye bir yarı-izometri varsa, X ve Y'nin olduğu söylenir yarı izometrik.

R

Yarıçap Metrik uzay, alanı tamamen içeren metrik bilyelerin sonsuz yarıçaplarıdır.

Dışbükeylik yarıçapı bir noktada p Riemann manifoldunun en büyük yarıçapı olan bir topun dışbükey alt küme.

Ray her aralıkta küçültülen tek taraflı sonsuz bir jeodeziktir

Riemann eğrilik tensörü

Riemann manifoldu

Riemann daldırma Riemann manifoldları arasındaki bir haritadır. dalma ve alt ölçüm aynı zamanda.

S

İkinci temel form hiper yüzeyin teğet uzayında ikinci dereceden bir formdur, genellikle II ile gösterilir, şekil operatörü bir hiper yüzeyden

{ displaystyle { text {II}} (v, w) = langle S (v), w rangle}

Ayrıca, keyfi eş boyuta genelleştirilebilir, bu durumda normal uzaydaki değerleri olan ikinci dereceden bir formdur.

Şekil operatörü hiper yüzey için M teğet uzaylarda doğrusal bir operatördür, S_p: T_pM→T_pM. Eğer n bir birim normal alandır M ve v teğet vektör ise

{ displaystyle S (v) = pm nabla _ {v} n}

(tanımda + veya - kullanılıp kullanılmayacağına dair standart bir anlaşma yoktur).

Kısa harita uzaklığı artmayan bir haritadır.

Düzgün manifold

Sol manifoldu bağlantılı bir faktördür çözülebilir Lie grubu tarafından kafes.

Altmetri kısa bir harita f metrik uzaylar arasında varsa altmetri denir R> 0 öyle ki herhangi bir nokta için x ve yarıçap r bu metrik görüntüsüne sahibiz r-ball bir r-ball, yani

${ displaystyle f (B_ {r} (x)) = B_ {r} (f (x))}$

Alt Riemann manifoldu

Sistol. k-sistoli M, ${ displaystyle syst_ {k} (M)}$ minimum hacim k-homolog olmayanı sıfıra çevirin.

T

Teğet demeti
Tamamen dışbükey. Bir alt küme K Riemann manifoldunun M herhangi iki nokta için ise tamamen dışbükey denir K onları birbirine bağlayan herhangi bir jeodezik tamamen K, Ayrıca bakınız dışbükey.
Tamamen jeodezik altmanifold bir altmanifold öyle ki hepsi jeodezik altmanifoldda ayrıca çevreleyen manifoldun jeodezi vardır.
U

Benzersiz jeodezik metrik uzay herhangi iki noktanın benzersiz bir küçültmenin uç noktaları olduğu bir metrik uzaydır. jeodezik.
W

Kelime ölçüsü bir grupta bir metriği Cayley grafiği bir dizi jeneratör kullanılarak inşa edilmiştir.