Ovoid (projektif geometri) - Ovoid (projective geometry)

Bir ovalin tanımına: teğet, s sekant doğrusu

Projektif geometride bir oval projektif boyut uzayında küre benzeri bir nokta kümesidir (yüzey) d ≥ 3. Gerçek bir yansıtmalı uzaydaki basit örnekler hipersferlerdir (dörtlü ). Bir ovalin temel geometrik özellikleri ${displaystyle {mathcal {O}}}$ şunlardır:

1. Herhangi bir çizgi kesişir ${displaystyle {mathcal {O}}}$ en fazla 2 noktada,
2. Bir noktadaki teğetler bir alt düzlemi kapsar (ve daha fazlasını değil) ve
3. ${displaystyle {mathcal {O}}}$ satır içermez.

Özellik 2) dejenere olmuş vakaları (koniler, ...) hariç tutar. Özellik 3) kurallı yüzeyleri (bir yaprağın hiperboloitleri, ...) hariç tutar.

Bir oval, bir oval projektif bir düzlemde.

Ovoid, özel bir türdür. ikinci dereceden küme.

Yumurtalar, örneklerin oluşturulmasında önemli bir rol oynar. Möbius uçakları ve daha yüksek boyutlu Möbius geometrileri.

Bir ovalin tanımı

• Yansıtmalı bir boyut alanında d ≥ 3 bir set ${displaystyle {mathcal {O}}}$ puanlara denir oval, Eğer

(1) Herhangi bir satır g buluşuyor ${displaystyle {mathcal {O}}}$ en fazla 2 puan.

Bu durumuda ${displaystyle | gcap {mathcal {O}} | = 0}$, satıra denir geçen (veya dış) hat, Eğer ${displaystyle | gcap {mathcal {O}} | = 1}$ çizgi bir Teğet çizgisi, ve eğer ${displaystyle | gcap {mathcal {O}} | = 2}$ çizgi bir ayırma çizgisi.

(2) Herhangi bir noktada ${displaystyle Pin {mathcal {O}}}$ teğet doğrular P bir alt düzlemi örtmek, teğet hiper düzlem, (yani projektif bir boyut alt uzayı d − 1).

(3) ${displaystyle {mathcal {O}}}$ satır içermez.

Hiperdüzlem bölümlerinin bakış açısından, oval bir cisim oldukça homojen bir nesnedir, çünkü

• Bir oval için ${displaystyle {mathcal {O}}}$ ve bir hiper düzlem ${displaystyle varepsilon}$en az iki nokta içeren ${displaystyle {mathcal {O}}}$, alt küme ${displaystyle varepsilon cap {mathcal {O}}}$ ovaldir (veya oval, eğer d = 3) hiper düzlem içinde ${displaystyle varepsilon}$.

İçin sonlu yansıtmalı boyut uzayları d ≥ 3 (yani, nokta kümesi sonlu, boşluk pappian^[1]), aşağıdaki sonuç doğrudur:

• Eğer ${displaystyle {mathcal {O}}}$ bir ovaldir sonlu yansıtmalı boyut uzayı d ≥ 3, sonra d = 3.

(Sonlu durumda, boşluklar yalnızca 3 boyutlu uzaylarda bulunur.)^[2]

• Sonlu bir projektif düzen uzayında n >2 (yani herhangi bir satır tam olarak n + 1 puan) ve boyut d = 3 herhangi bir puan kümesi ${displaystyle {mathcal {O}}}$ bir ovaldir ancak ve ancak ${displaystyle | {mathcal {O}} | = n ^ {2} +1}$ ve üç nokta yok doğrusal (ortak bir hatta).^[3]

Kelimeyi değiştirmek projektif bir oval tanımında afin, bir tanımını verir afin oval.

Bir (projektif) oval için uygun bir hiper düzlem varsa ${displaystyle varepsilon}$ kesişmiyorsa, bu hiper düzleme hiper düzlem ${displaystyle varepsilon _ {infty}}$ sonsuzda ve oval, karşılık gelen afin boşlukta afin bir oval hale gelir. ${displaystyle varepsilon _ {infty}}$. Ayrıca, herhangi bir afin oval, afin boşluğun projektif kapanışında (sonsuzda bir hiper düzlem ekleyerek) projektif bir oval olarak kabul edilebilir.

Örnekler

Gerçek yansıtmalı uzayda (homojen olmayan temsil)

1. ${mathbb {R}} ^ {d} içinde {displaystyle {mathcal {O}} = {(x_ {1}, ..., x_ {d}); |; x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {d} ^ {2} = 1},}$ (hiper küre)
2. ${mathbb {R}} ^ {d} içinde {displaystyle {mathcal {O}} = {(x_ {1}, ..., x_ {d}); | x_ {d} = x_ {1} ^ {2 } + cdots + x_ {d-1} ^ {2};}; fincan; {{ext {sonsuzluk noktası}} x_ {d} {ext {-axis}}}}$

Bu iki örnek dörtlü ve yansıtmalı olarak eşdeğerdir.

Kuadrik olmayan basit örnekler aşağıdaki yapılarla elde edilebilir:

(a) Bir hiperferin yarısını uygun bir hiperellipsoide yapıştırın. pürüzsüz yol.

(b) İlk iki örnekte ifadeyi değiştirin x₁² tarafından x₁⁴.

Açıklama: Gerçek örnekler karmaşık duruma dönüştürülemez (projektif alan üzerinden ${displaystyle {mathbb {C}}}$). Karmaşık bir projektif boyut alanında d ≥ 3 oval kuadrik yoktur, çünkü bu durumda herhangi bir dejenere olmayan kuadrik çizgiler içerir.

Ancak aşağıdaki yöntem, kuadrik olmayan birçok ovoidi garanti eder:

• Herhangi sonlu olmayan projektif alan yumurtalıkların varlığı kullanılarak kanıtlanabilir sonsuz indüksiyon.^[4][5]

Sonlu örnekler

• Herhangi bir oval ${displaystyle {mathcal {O}}}$ içinde sonlu yansıtmalı boyut uzayı d = 3 bir tarla üzerinde K nın-nin karakteristik ≠ 2 bir dörtlü.^[6]

Son sonuç, aşağıdaki kuadrik olmayan örnekler nedeniyle, hatta karakteristiğe genişletilemez:

• İçin ${displaystyle K = GF (2 ^ {m}) ,; m}$ garip ve ${displaystyle sigma}$ otomorfizm ${displaystyle xmapsto x ^ {(2 ^ {frac {m + 1} {2}})} ;,}$

puan kümesi

${displaystyle {mathcal {O}} = {(x, y, z) in K ^ {3}; |;; z = xy + x ^ {2} x ^ {sigma} + y ^ {sigma}}; fincan; {{ext {sonsuzluk noktası}} z {ext {-axis}}}}$ 3 boyutlu projektif uzayda bir ovaldir. K (homojen olmayan koordinatlarda temsil edilir).

Yalnızca m = 1 oval mi ${displaystyle {mathcal {O}}}$ bir kuadrik.^[7]

${displaystyle {mathcal {O}}}$ denir Göğüsler-Suzuki oval.

Ovoidin kuadrik olma kriterleri

Bir oval kuadrik birçok simetriye sahiptir. Özellikle:

• İzin vermek ${displaystyle {mathcal {O}}}$ yansıtmalı uzayda bir oval ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ boyut d ≥ 3 ve ${displaystyle varepsilon}$ bir hiper düzlem. Ovoid herhangi bir noktaya simetrikse ${displaystyle Pin varepsilon setminus {mathcal {O}}}$ (ör. merkez ile kapsamlı bir perspektif var ${displaystyle P}$ hangi ayrılıyor ${displaystyle {mathcal {O}}}$ değişmez), sonra ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ pappian ve ${displaystyle {mathcal {O}}}$ bir kuadrik.^[8]
• Bir oval ${displaystyle {mathcal {O}}}$ yansıtmalı bir alanda ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ bir kuadriktir, eğer projektivite grubu, ${displaystyle {mathcal {O}}}$ değişmez 3 geçişli olarak çalışır ${displaystyle {mathcal {O}}}$, yani iki üçlü için ${displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3} ,; B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}}$ bir projektivite var ${displaystyle pi}$ ile ${displaystyle pi (A_ {i}) = B_ {i} ,; i = 1,2,3}$.^[9]

Sonlu durumda kişi Segre teoremi:

• İzin vermek ${displaystyle {mathcal {O}}}$ bir oval sonlu 3 boyutlu desarguezyen projektif uzay ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ nın-nin garip sipariş ver o zaman ${displaystyle {mathfrak {P}}}$ pappian ve ${displaystyle {mathcal {O}}}$ bir kuadriktir.

Genelleme: yarı oval

Bir oval tanımından koşulun (1) çıkarılması, bir yarı oval:

Bir nokta seti ${displaystyle {mathcal {O}}}$ projektif alanın adı a yarı oval Eğer

aşağıdaki koşullar geçerlidir:

(SO1) Herhangi bir nokta için ${displaystyle Pin {mathcal {O}}}$ noktadan teğetler ${displaystyle P}$ tam olarak bir hiper düzlemi örtün.

(SO2) ${displaystyle {mathcal {O}}}$ satır içermez.

Yarı oval bir özeldir yarı karesel küme^[10] bu bir genellemedir ikinci dereceden küme. Yarı ikinci dereceden bir küme ile ikinci dereceden bir küme arasındaki temel fark, küme ile ortak 3 noktaya sahip doğruların olabileceği ve çizgilerin kümede yer almadığı gerçeğidir.

Yarı yumurtalıklara örnekler, bir nesnenin izotropik noktalarının kümeleridir. münzevi formu. Arandılar Hermit kuadrikleri.

Literatürdeki yumurtalara gelince, bir münzevi kuadriğe yarı oval yapan kriterler vardır.^[11].

Möbius geometrilerinin örneklerinin inşasında yarı ovoidler kullanılmıştır.

Ayrıca bakınız

• Ovoid (kutup boşluğu)
• Möbius uçağı

Notlar

Referanslar

• Peter Dembowski (1968), Sonlu geometriler, Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete, Grup 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, BAY  0233275

daha fazla okuma

• Barlotti, A. (1955), "Un'estensione del teorema di Segre-Kustaanheimo", Koza. Un. Mat. Ital., 10: 96–98
• Hirschfeld, J.W.P. (1985), Üç Boyutta Sonlu Projektif Uzaylar, New York: Oxford University Press, ISBN  0-19-853536-8
• Panella, G. (1955), "Caratterizzazione delle quadriche di uno spazio (tridimensionale) lineare sopra un corpo finito", Koza. Un. Mat. Ital., 10: 507–513

Dış bağlantılar

• E. Hartmann: Düzlemsel Çember Geometrileri, Moebius-, Laguerre- ve Minkowski Düzlemlerine Giriş. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), S. 121-123.