Düzenli p grubu - Regular p-group

İçinde matematiksel sonlu grup teorisi kavramı düzenli p-grup daha önemli bazı özelliklerini yakalar değişmeli pgruplar, ancak çoğu "küçük" kelimesini içerecek kadar geneldir p-gruplar. Düzenli p-gruplar tarafından tanıtıldı Phillip Hall  (1934 ).

Tanım

Sonlu p-grup G olduğu söyleniyor düzenli aşağıdaki eşdeğerlerden herhangi biri (Salon 1959, Ch. 12.4), (Huppert 1967, Kap. III §10) koşullar sağlandı:

• Her biri için a, b içinde G, var c içinde türetilmiş alt grup HAlt grubun ′ H nın-nin G tarafından oluşturuldu a ve b, öyle ki a^p · b^p = (ab)^p · c^p.
• Her biri için a, b içinde Gunsurlar var c_ben tarafından oluşturulan alt grubun türetilmiş alt grubunda a ve b, öyle ki a^p · b^p = (ab)^p · c₁^p ⋯ c_k^p.
• Her biri için a, b içinde G ve her pozitif tam sayı nunsurlar var c_ben tarafından oluşturulan alt grubun türetilmiş alt grubunda a ve b öyle ki a^q · b^q = (ab)^q · c₁^q ⋯ c_k^q, nerede q = pⁿ.

Örnekler

Birçok tanıdık p-gruplar düzenlidir:

• Her değişmeli p-grup düzenli.
• Her p-grup nilpotency sınıfı kesinlikle daha az p düzenli. Bu, Hall-Petresco kimliği.
• Her p-grup sipariş en çok p^p düzenli.
• Her sonlu grup üs p düzenli.

Ancak birçok tanıdık p-gruplar düzenli değil:

• Eabelian olmayan her 2-grup düzensizdir.
• Sylow palt grup of simetrik grup açık p² puanlar düzensiz ve sıralıdır p^p+1.

Özellikleri

Bir p-grup düzenli ancak ve ancak her alt grup iki eleman tarafından oluşturulan düzenlidir.

Her alt grup ve bölüm grubu düzenli bir grubun, ancak direkt ürün düzenli grupların düzenli olması gerekmez.

2-grup, ancak ve ancak değişmeli ise düzenlidir. İki jeneratörü olan bir 3-grup, ancak ve ancak türetilmiş alt grubu, döngüsel. Her p-döngüsel türetilmiş alt grup ile tek sıra grubu düzenli.

Bir alt grubu p-grup G düzen bölme unsurları tarafından oluşturulur p^k gösterilir Ω_k(G) ve düzenli gruplar bu konuda iyi davranır Ω_k(G) tam olarak düzen bölme unsurları kümesidir p^k. Tümü tarafından oluşturulan alt grup p^kelemanların güçleri G gösterilir ℧_k(G). Normal bir grupta indeks [G: ℧_k(G)] Ω mertebesine eşittir_k(G). Aslında, komütatörler ve yetkiler, özellikle basit şekillerde etkileşime girer (Huppert 1967, Kap III §10, Satz 10.8). Örneğin, normal alt gruplar verildiğinde M ve N düzenli p-grup G ve negatif olmayan tamsayılar m ve n, birinin [℧_m(M),℧_n(N)] = ℧_m+n([M,N]).

• Philip Hall a'nın düzenlilik kriteri p-grup G: G Aşağıdaki muhafazalardan biri normaldir:
  1. [G:℧₁(G)] < p^p
  2. [G′:℧₁(G ′)| < p^p−1
  3. | Ω₁(G)| < p^p−1

Genellemeler

• Güçlü p grubu
• güç kapalı p-grup

Referanslar

• Hall, Marshall (1959), Grup teorisi, Macmillan, BAY  0103215
• Hall, Philip (1934), "Asal güç düzeni grupları teorisine bir katkı", Londra Matematik Derneği Bildirileri, 36: 29–95, doi:10.1112 / plms / s2-36.1.29
• Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (Almanca), Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 90–93, ISBN  978-3-540-03825-2, BAY  0224703, OCLC  527050